Жаропонижающие средства для детей назначаются педиатром. Но бывают ситуации неотложной помощи при лихорадке, когда ребенку нужно дать лекарство немедленно. Тогда родители берут на себя ответственность и применяют жаропонижающие препараты. Что разрешено давать детям грудного возраста? Чем можно сбить температуру у детей постарше? Какие лекарства самые безопасные?
Инструкция
Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел вида a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Число d называется шагом прогрессии .Очевидно, что общая формула произвольного n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: An = A1+(n-1)d. Тогда зная один из членов прогрессии , первый член прогрессии и шаг прогрессии , можно определить, то есть номер члена прогресси. Очевидно, он будет определяться по формуле n = (An-A1+d)/d.
Группировка и сумма элементов
В этом разделе понятия последовательности чисел и общего термина определяются в начале. Заключительная часть посвящена реальному применению геометрических прогрессий: сложный интерес. Выведите общий термин числовой или геометрической последовательности и вычислите определенный член, известный общий термин. Признать арифметические прогрессии, получить их общий термин и найти какой-либо термин, известный первый член и разницу. Определите, является ли прогрессия геометрической или нет, найдите ее общий термин и получите любой термин, известный первому термину и причине. Найдите сумму членов убывающей геометрической прогрессии. Признайте сложный интерес как реальный случай геометрической прогрессии и решите проблемы, в которых эта концепция появляется. Признайте наличие геометрических прогрессий в реальных контекстах, таких как сложный интерес.
- Геометрические прогрессии.
- Простой интерес и сложный интерес.
- Уверенность в собственных способностях решать численные проблемы.
- Признать наличие арифметических прогрессий в реальных контекстах.
Пусть теперь известен m-ый член прогрессии и какой-то другой член прогрессии - n-ый, но n неизвестно, как и в предыдущем случае, но известно, что n и m не совпадают.Шаг прогрессии может быть вычислен по формуле: d = (An-Am)/(n-m). Тогда n = (An-Am+md)/d.
Если известна сумма нескольких элементов арифметической прогрессии , а также ее первый и последний элемент, то количество этих элементов тоже можно определить.Сумма арифметической прогрессии будет равна: S = ((A1+An)/2)n. Тогда n = 2S/(A1+An) - число чденов прогрессии . Используя тот факт, что An = A1+(n-1)d, эту формулу можно переписать в виде: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Из этой формулы можно выразить n, решая квадратное уравнение.
Каждое из вещественных чисел называется термом последовательности. Однако не все последовательности имеют общий термин. Заметим, что каждый член последовательности такой же, как и предыдущий. Согласно определению, каждый член равен предыдущей плюс разница.
Интерполяция терминов. Интерполяционное арифметическое средство. Рассмотрим прогрессию, образованную первыми шестью кратными 5. Заметим, что сумма концов. В общем, при ограниченной арифметической прогрессии это подтверждается. При ограниченной арифметической прогрессии сумма эквидистантных членов экстремумов равна сумме экстремумов.
Арифметической последовательностью называют такой упорядоченный набор чисел, каждый член которого, кроме первого, отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Эта постоянная величина называется разностью прогрессии или ее шагом и может быть рассчитана по известным членам арифметической прогрессии.
Инструкция
Если из условий задачи известны значения первого и второго или любой другой пары соседних членов арифметической прогрессии, для вычисления разности (d) просто отнимите от последующего члена предыдущий. Получившаяся величина может быть как положительным, так и отрицательным числом - это зависит от того, является ли прогрессия возрастающей или убывающей. В общей форме решение для произвольно взятой пары (aᵢ и aᵢ₊₁) соседних членов прогрессии запишите так: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Давайте сначала рассмотрим пример. Один из способов найти сумму членов этой прогрессии состоит в том, чтобы написать сумму дважды, инвертируя термины в одну из них. Добавление двух результатов равенства. Каждый член этой последовательности равен предыдущей, умноженной на эту последовательность, является геометрической прогрессией.
Обобщение этого процесса дает общий термин. Эта проблема, состоящая из чередования нескольких терминов между двумя кубиками, называется интерполяцией. Выраженные термины называются геометрическими или пропорциональными. Обратите внимание, что в геометрической прогрессии.
Для пары членов такой прогрессии, один из которых является первым (a₁), а другой - любым другим произвольно выбранным, тоже можно составить формулу нахождения разности (d). Однако в этом случае обязательно должен быть известен порядковый номер (i) произвольного выбранного члена последовательности. Для вычисления разности сложите оба числа, а полученный результат разделите на уменьшенный на единицу порядковый номер произвольного члена. В общем виде эту формулу запишите так: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Продукт экстремальных терминов. И что произведение терминов, равноудаленных от крайностей, также. В общем, в ограниченной геометрической прогрессии он проверяется. В ограниченной геометрической прогрессии произведение терминов, равноудаленных от концов, равно произведению концов.
Умножение двух результатов равенства. Чтобы получить формулу суммы этих прогрессий, умножим на -1 числитель и знаменатель предыдущей формулы. По этой причине, чтобы найти сумму бесконечных членов убывающей геометрической прогрессии, эта формула используется. Явное применение геометрических прогрессий представляет собой сложный интерес. Давайте посмотрим на это с примером и вспомним ранее простые интересы.
Если кроме произвольного члена арифметической прогрессии с порядковым номером i известен другой ее член с порядковым номером u, измените формулу из предыдущего шага соответствующим образом. В этом случае разностью (d) прогрессии будет сумма этих двух членов, поделенная на разность их порядковых номеров: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
Формула вычисления разности (d) несколько усложнится, если в условиях задачи дано значение первого ее члена (a₁) и сумма (Sᵢ) заданного числа (i) первых членов арифметической последовательности. Для получения искомого значения разделите сумму на количество составивших ее членов, отнимите значение первого числа в последовательности, а результат удвойте. Получившуюся величину разделите на уменьшенное на единицу число членов, составивших сумму. В общем виде формулу вычисления дискриминанта запишите так: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
Отправляемся в цирк
Когда какое-либо лицо вкладывает капитал в банк в течение определенного времени, банк выплачивает проценты. В зависимости от того, периодически или периодически аннулируется интерес, интерес называется простым или сложным. До 10% через два года при простых интересах?
И сложные проценты? Давайте рассмотрим каждый случай отдельно. Вычислите член, который занимает 100-е место арифметической прогрессии, чей первый член равен 4, а разница равна. Разница двух крайностей равна 16, а сумма четвертого и тринадцатый - Рассчитать крайности. Ограниченная арифметическая прогрессия из 10 членов такова, что сумма концов равна 20, а произведение третьей и восьмой должно составлять первые 10 членов прогрессии. Найдите эти числа, зная, что они являются целыми числами. Вычислите три числа, зная, что они находятся в арифметической прогрессии, что их сумма равна 18 и что сумма первого и второго равна третьей, уменьшенной в двух единицах. Сумма одиннадцати первых членов арифметической прогрессии равна 176, а разница крайностей - найти члены прогрессии. Найдите четыре числа в арифметической прогрессии, шокируя их сумму, равную 22, и сумму их квадратов. Разница в арифметической прогрессии. Произведение первых четырех членов - это найти термины. Найдите первые шесть членов арифметической прогрессии, зная, что первые три складываются - 3 и последние три. В арифметической прогрессии одиннадцатый член превышает в 2 единицах до восьмого, а первый и девятый - вычисляет разницу и упомянутые термины. В арифметической прогрессии второй и третий термины складываются до 19, а пятый и седьмой члены складываются. Разница между майором и несовершеннолетним составляет 60 °. Самый старый на 6 лет старше самого молодого. Найдите возраста четырех братьев. Лыжник начинает лыжный предсезон, делая вес в тренажерном зале в течение часа. Решите увеличить продолжительность обучения 10 минут каждый день. Сколько времени вы должны тренировать через 15 дней? Сколько времени вы потратите на обучение в течение 30-дневного месяца? В кинотеатре первый ряд сидений расходится с экрана 86 дм, а шестой - 134 дм. В каком ряду будет человек, если его расстояние от экрана составляет 230 дм? Вычислите одиннадцатый член геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а отношение - пятый член геометрической прогрессии - 81, а первый - вычисляет эти числа. Он определяет четыре числа в геометрической прогрессии, так что первые две суммы 0, 5 и последние два 0. Сколько членов было принято в геометрической прогрессии, зная, что первое слагаемое равно 7, последние 448 и его сумма 889? Сумма первых семи членов геометрической прогрессии разума 3: Найдите числа. Найдите первые четыре члена геометрической прогрессии, зная, что второе равно 20, а сумма первых четырех - это Халла, углы четырехугольника, если известно, что они находятся в геометрической прогрессии и что майор в 27 раз наименьший. Размеры ортоэдра находятся в геометрической прогрессии. Найдите эти цифры. Найдите четыре цифры в геометрической прогрессии, зная, что сумма первых двух равна 28 и сумма последних двух. В геометрической прогрессии первый и пятнадцатый члены равны соответственно 6 и 54. Найдите шестой термин. Геометрическая прогрессия имеет пять членов, отношение равно четвертой части первого слагаемого, а сумма первых двух членов - найти пять членов. Из длины даны два разреза, так что одна из торцевых частей имеет длину 100 м. 1 октября половина контента была опустошена; На следующий день он снова опустошил половину того, что осталось, и так каждый день. Сколько вина было принято 10 октября? Учитывая квадрат 1 м. со стороны, мы соединяем две-две середины своих сторон; Мы получаем новый квадрат, в котором мы выполняем ту же операцию, и так далее.
- Десятый член арифметической прогрессии равен 45, а разница.
- Сумма трех чисел в арифметической прогрессии равна 33 и их произведение.
Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии)
В которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии .
Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле
Гаусс пришел из очень скромной семьи. Его отец был садовником и художником с толстой кистью. Математические навыки молодого Гаусса проявились очень скоро. Ему говорят, что однажды, в возрасте девяти лет, когда он достиг класса арифметики начальных классов, учитель попросил его и его одноклассников добавить все числа от 1 до Гаусса, чтобы подумать, И вместо того, чтобы добавлять все, один за другим, решили проблему через несколько секунд следующим образом.
То есть он обнаружил принцип формулы суммы членов арифметической прогрессии. В результате этих успехов его учителя заинтересовались им. Гаусс изучал математику и стал профессором математики в Казани, профессором астрономии и директором астрономической обсерватории в Геттингене.
Свойства арифметической прогрессии
1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии
Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией. По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.
Запрос изобретателя шахмат. Одна легенда гласит, что изобретатель шахмат представил свое изобретение князю Индии. Изобретатель шахмат сделал свой запрос следующим образом. «Я хочу, чтобы ты дал мне зерно пшеницы на первый квадрат на доске, два на второй, четыре на третий, восемь на четвертый, шестнадцать на пятый и т.д. до коробки 64».
Неожиданностью стало то, что секретарь князя подсчитал количество пшеницы, представленное просьбой изобретателя, потому что вся посевная пшеница была недостаточной для получения пшеницы, которую просил изобретатель. Сколько триллионов пшеницы он просил?
Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей
В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства
Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.
2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле
Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.
Используйте калькулятор, чтобы найти общее количество зерен пшеницы. Редакция Сантильяна. . Цель состоит в том, чтобы найти формулу, которая позволяет вычислить сумму первых членов арифметической прогрессии, не вычисляя их. Сумма первых шести терминов - это площадь, ограниченная красным многоугольником, который по конструкции совпадает с площадью белого полигона, и оба они составляют половину площади всего прямоугольника.
Факт получения прямоугольника отражает нам важное свойство арифметических прогрессий. Отмечается, что основание прямоугольника имеет в качестве своей длины сумму первого и шестого членов, совпадающих с суммой пятой и второй, и с суммой третьего и четвертого; И эти три пары терминов равноудалены от первого и шестого концов.
3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k -го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы
4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k -го номера. Для этого используйте формулу
На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.
Таким образом, площадь прямоугольника равна. Таким образом, сумма первых шести условий. Мы хотим рассчитать сумму первых тысяч натуральных чисел, кратных пяти. Внизу мы напишем, какую переменную мы добавляем и из какого термина, в то время как наверху мы напишем последний добавляемый термин.
Ранее мы писали. Также добавьте термины справа от знака =. Указанная сумма слева от знака = представляет собой сумму всех членов, кроме первой. То, что у вас есть в круглой скобке справа от знака =, является суммой всех членов, кроме последней. Вышеуказанная сумма может быть написана. Сумма членов геометрической прогрессии равна последнему члену соотношением минус первое, деленное на отношение меньше.
Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...
Решение:
Согласно условию имеем
Определим шаг прогрессии
По известной формуле находим сороковой член прогрессии
Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.
Решение:
Распишем заданные элементы прогрессии по формулам
Иногда лучше использовать формулу сложения в функции первого термина и причины. Для этого в формуле добавления замените значение. Чтобы рассчитать отношение, мы делим значение члена на один из предыдущих. Прогресс со всеми семью условиями будет. Сумма всех этих условий.
Примеры заданий на сумму арифметической прогрессии
Решение: Мы знаем значение суммы, отношение и первый член, применяя формулу сложения и подставляя ее значения. Знаменатель 2 будет передаваться путем умножения на другую сторону знака =. Мы остаемся в качестве последнего равенства. Если формула: мы изменим порядок, в котором мы разместили значения числителя, а знаменатель не изменит результат. Такое же, как.
От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии
Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии
Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии
Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.
Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.
