М ногие люди используют теорию вероятностей регулярно. Особенно часто её применяют в своём деле предприниматели. Но практически никто не связывает с ней личные расчёты и продуманные действия. Теория вероятностей в жизни помогает избегать многих неприятностей, в том числе - потерь. Большинство бизнесменов владеют ею на практическом уровне. С другой стороны, нередко те, кому теория вероятностей должна, казалось бы, очень хорошо понятна, на самом де ле в ней - полные невежды. К слову, израильский учёный, Нобелевский лауреат Даниэл Канеман и его друг Амос Тверски доказали экспериментально: специалисты, имеющие математическое образование, по-настоящему не разбираются в теории вероятностей. Они не берут её во внимание даже в тех случаях, когда можно было бы избежать потерь или получить выгоду. И действуют точно так, как и лица, которые совсем не знакомы с данной теорией.

Для своего дела (в смысле своего бизнеса) теория вероятностей необходима. Её понимание и постоянное применение - й из основ успеха и эффективности в работе.

Теория вероятностей проста, если её не усложнять

Рассмотрим теорию вероятностей на очень простых примерах. Если у нас в ящике лежит 10 пронумерованных шаров с цифрами от 1 до 10, то вероятность вытянуть шар с числом 10 равна 10 процентам. Но более вероятней, что мы вытянем любое другое число от 1 до 9, а не самое большое (не 10), поскольку такая вероятность составляет 90 процентов. Вытянуть шар с самым большим числом из 10000 пронумерованных шаров уже слишком маловероятно. Скорее всего, мы вытянем любое другое число (не 10000). При 10 миллионах шарах вытянуть самое большое число (10000000) практически невозможно. Закономерным результатом будет вытягивание любого другого числа, но не самого большого. Приведённые примеры с шарами подвели нас к закону больших чисел. Он гласит:

Явления, вероятные при их малом числе, при большом количестве становятся закономерными, при очень большом - неизбежными.

В наших примерах вытянуть десятку из 10 шаров возможно, однако более вероятно, что мы вытянем любое другое число. Но по мере увеличения количества шаров вероятность вытягивания не самого большого числа всё более увеличивается и превращается при достижении большого числа шаров в закономерность, а при их огромном количестве - в неизбежность.

Закон больших чисел включает в себя несколько положений (несколько теорем). К уже известной Вам формулировке следует добавить ещё одну:

С увеличением числа вероятных явлений их средние величины стремятся стать постоянными и при большом количестве таковыми практически становятся.

Рассмотрим данное положение на примере с монетой. При подбрасывании монеты 10 раз её падение орлом или решкой кверху вероятно в соотношении и 5 к 5, и 6 к 4, и 3 к 7... Но по мере увеличения количества бросков это соотношение неумолимо будет приближаться к равенству (к постоянным средним величинам), то есть к соотношению 50% на 50%. При миллионе бросков получить даже соотношение 60% на 40% практически невозможно - оно будет очень близко к соотношению 50% на 50%. Некоторые люди полагают, что вероятность выпадения одной стороной монеты 100 раз подряд равна 1 проценту. И очень заблуждаются, поскольку такое событие слишком маловероятно: как один шанс из нескольких миллиардов.

Думаю, Вы поняли, что теория вероятностей действительно проста. Её положения с момента публикации (несколько веков назад) проверялись почти во всех государствах огромное количество раз. Особенно преуспели в этом студенты. Как правило, для проверки использовались монеты. И все убеждались в полном совпадении теории с практикой.

Применение теории вероятностей в своём деле

При оценке ситуации на рынке (в своей нише), в работе со статистическими данными неизбежно приходиться использовать теорию вероятностей - как правило, на практическом уровне. Но лучше, если Вы будете применять данную теорию, понимая её теоретическую основу. Ведь она действительно простая. Важно лишь понимать теорию вероятностей и применять осознанно. А ситуации, в которых её использование необходимо, возникают постоянно, особенно в бизнесе. Поэтому запомните две приведённые формулировки теории вероятностей. Они выделены выше красным цветом. Постарайтесь осознать их смысл! Это действительно для Вас очень важно!

Гатауллина Лилия

В своей исследовательской работе я попробую проверить, действительно ли теория вероятности действует и как её можно применить в жизни.

Скачать:

Предварительный просмотр:

X республиканская научно-практическая конференция

«Рождественские чтения»

Секция: математика

Исследовательская работа

Случайность или закономерность?

или

Теория вероятности в жизни

Гатауллина Лилия,

школа№66, 8 Б класс

Московский район, город Казань

Научный руководитель: учитель математики 1кв. кат Магсумова Э.Н

Казань 2011

Введение...............................................................................................................3

Глава 1. Теория вероятности – что это?……………….....................................5

Глава 2. Эксперименты…………………………………………………………7

Глава 3. Можно ли выиграть в лотерею или рулетку? …………………........9

Заключение.........................................................................................................11

Список литературы.............................................................................................12

Приложение

Введение

Людей всегда интересовало будущее. Человечество во все врем ена искало способ его предугадать, или спланировать. В разное время разными способами. В современном мире есть теория, которую наука признает и пользуется для планирования и прогнозирования будущего. Речь о теории вероятностей .

В жизни мы часто сталкиваемся со случайными явлениями. Чем обусловлена их случайность – нашим незнанием истинных причин происходящего или случайность лежит в основе многих явлений? Споры на эту тему не утихают в самых разных областях науки. Случайным ли образом возникают мутации, насколько зависит историческое развитие от отдельной личности, можно ли считать Вселенную случайным отклонением от законов сохранения? Пуанкаре, призывая разграничить случайность, связанную с неустойчивостью, от случайности, связанной с нашим незнанием, приводил следующий вопрос: «Почему люди находят совершенно естественным молиться о дожде, в то время как они сочли бы смешным просить в молитве о затмении?»

У каждого "случайного" события есть четкая вероятность его наступления. Например, посмотрите официальную статистику пожаров в России. (см. приложение №1) Вас ничего не удивляет? Данные из года в год стабильные.
За 7 лет разброс от 14 до 19 тысяч погибших.Задумайтесь, пожар - событие случайное. Но можно с большой точностью предсказать сколько погибнет людей в пожаре в следующем году (~ 14-19 тысяч).

В стабильной системе вероятность наступления событий сохраняется из год в год. То есть, с точки зрения человека с ним произошло случайное событие. А с точки зрения системы, оно было предопределенно.

Разумный человек должен стремиться мыслить, исходя из законов вероятностей (статистики). Но в жизни о вероятности мало кто думает. Решения принимаются эмоционально.

Люди боятся летать самолетами. А между тем, самое опасное в полете на самолете - это дорога в аэропорт на автомобиле. Но попробуй кому-то объяснить, что машина опасней самолета. Вероятность того, что пассажир, севший в самолет погибнет в авиакатастрофе составляет примерно

1/8 000 000. Если пассажир будет садиться каждый день на случайный рейс, ему понадобится 21 000 лет чтобы погибнуть.(см.приложение №2)

По исследованиям: в США в первые 3 месяца после терактов 11 сентября 2001 года погибло еще одна тысяч людей... косвенно. Они в страхе перестали летать самолетами и начали передвигаться по стране на автомобилях. А так как это опасней, то количество смертей возросло.

По телевидению пугают: птичьим и свиными гриппами, терроризмом..., но вероятность этих событий ничтожна по сравнению с настоящими угрозами. Опасней переходить дорогу по зебре, чем лететь на самолете. От падения кокосов погибает ~ 150 человек в год. Это в десятки раз больше, чем от укуса акул. Но фильма "Кокос-убийца" пока не снято. Подсчитано, что шанс человека быть подвергнутым нападению акулы составляет 1 к 11,5 млн, а шанс погибнуть от такого нападения 1 к 264,1 млн. Среднегодовое количество утонувших в США составляет 3306 человек, а погибших от акул 1. Миром правит вероятность и нужно помнить об этом. Они помогут вам взглянуть на мир с точки зрения случая. (см. приложение №3)

В своей исследовательской работе я попробую проверить, действительно ли теория вероятности действует и как её можно применить в жизни.

Вероятность события в жизни не так уж часто считается по формулам, скорее интуитивно. Но проверить совпадает ли «эмпирический анализ» с математическим, иногда очень полезно.

Глава 1. Теория вероятности – что это?

Теория вероятностей или теория вероятности – это один из разделов Высшей Математики. Это самый интересный раздел Науки Высшая Математика Теория вероятности, которая являясь сложной дисциплиной, имеет применение в реальной жизни. Теория вероятностей представляет несомненную ценность для общего образования. Эта наука позволяет не только получать знания, которые помогают понимать закономерности окружающего мира, но и находить практическое применение теории вероятности в повседневной жизни. Так, каждому из нас каждый день приходиться принимать множество решений в условиях неопределенности. Однако эту неопределенность можно «превратить» в некоторую определенность. И тогда это знание может оказать существенную помощь при принятии решения. Изучение теории вероятностей требует больших усилий и терпения.

Теперь же давайте перейдем к самой теории и истории ее возникновения. Главным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово «вероятность», синонимом которого является, например, слово «шанс» достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу», или «это просто невероятно», или «есть шанс получить зачет автоматом». Такого рода фразы на интуитивном уровне оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие. В свою очередь матем атическая вероятность дает некоторую числовую оценки вероятности того, что произойдет некоторое случайное событие.

Теория вероятностей оформилась в самостоятельную науку относительно не давно, хотя история теории вероятностей началась еще в античности. Так, Лукреций, Демокрит, Кар и еще некоторые ученые древней Греции в своих рассуждениях говорили о равновероятностных исходах такого события, как возможность того, что вся материя состоит из молекул. Таким образом, понятие вероятности использовалось на интуитивном уровне, но оно не было выделено в новую категорию. Тем не менее, античные ученые заложили прекрасный фундамент для возникновения этого научного понятия. В средние века, можно сказать, и зародилась теория вероятности, когда были приняты первые попытки математического анализа, таких азартных игр как кости, орлянка, рулетка.

Первые научные работы по теории вероятностей появились в 17 веке. Когда такие ученые как Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли некоторые закономерности, которые возникают при бросании костей. В ту же пору к данному вопросу проявлял интерес еще один ученый Христиан Гюйгенс. Он в 1657 в своей работе ввел следующие понятия теории вероятностей: понятие вероятности как величины шанса или возможности; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, а также теоремы сложения и умножения вероятностей, которые правда не были сформулированы в явном виде. Тогда же теория вероятностей стала находить сферы своего применения – демографию, страховое дело, оценку ошибок наблюдений.

Дальнейшее развитие теории вероятностей привело к необходимости аксиоматизации теории вероятностей и главного понятия – вероятности. Так становление аксиоматики теории вероятностей произошло в 30 гг 20 века. Самый существенный вклад в заложение основ теории внес Космогоров А.Н.

На сегодняшний день теории вероятностей это самостоятельная наука, имеющая огромную сферу применения. В данном разделе сайта Вы найдете шпаргалки по теории вероятности, лекции и задачи по теории вероятностей, литературу, а также много интересных статей о применении теории вероятностей в жизни.

Глава 2. Эксперименты

Я решила проверить классическое определение вероятности.

Определение: Пусть множество исходов опыта состоит из n равновероятных исходов. Если m из них благоприятствуют событию A, то вероятностью события A называется число Р(А) = m/n.

Возьмем, к примеру, игру в монету. При бросании может быть два равновероятных исхода: монета может упасть кверху гербом или решкой. Бросая монету один раз нельзя предугадать, какая сторона окажется сверху. Однако, бросив монету 100 раз, можно сделать выводы. Можно заранее сказать, что герб выпадет не 1 и не 2 раза, а больше, но и не 99 и не 98 раз, а меньше. Число выпадений герба будет близко к 50. На самом деле, и на опыте можно в этом убедиться, что это число будет заключено между 40 и 60. Кто и когда впервые проделал опыт с монетой, неизвестно.

Французский естествоиспытатель Бюффон (1707-1788) в восемнадцатом столетии 4040 раз подбрасывал монету-герб выпал 2048 раз. Математик К.Пирсон в начале в начале нынешнего столетия подбрасывал ее 24 000 раз-герб выпал 12012 раз. Лет 20 назад американские экспериментаторы повторили опыт. При 10 000 подбрасываний герб выпал 4979 раз. Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них и является случайным событием, при неоднократном повторении подвластны объективному закону.

Проведём опыт. Для начала, возьмем в руки монетку, будем ее бросать и записывать результат последовательно в виде строки: О, Р, Р, О, О, Р. Здесь буквами О и Р обозначено выпадение орла или решки. В нашем случае бросание монетки – это испытание, а выпадение орла или решки – событие, то есть возможный исход нашего испытания. Результаты эксперимента представлен в приложении № 4. Проведя 100 испытаний орел выпал - 55, решка - 45.Вероятность выпадения орла в данном случае-0,55; решки – 0,45. Таким образом, я показала, что теория вероятности в данном случае имеет место быть.

Рассмотрим задачу с тремя дверьми и призами за ней: «Автомобиль или козлы»? или «парадокс Монти Холла». Условия задачи таковы:

Вы участвуете в игре. Ведущий предлагает выбрать одну из трех дверей и рассказывает о том, что за одной из дверей находится выигрыш – автомобиль, за двумя другими дверями спрятаны козы. После того, как Вы остановили свой выбор на одной из дверей, ведущий, который знает что находится за каждой дверью, открывает одну из оставшихся двух дверей и демонстрирует, что за ней находится козел (коза, пол животного в этом случае на так уж важен) А потом ведущий хитро так спрашивает: «Желаете ли Вы изменить свой выбор двери?» Увеличит ли изменение выбора шансы на выигрыш?

Если подумать: вот две закрытые двери, одну Вы уже выбрали и вероятность что за выбранной дверью автомобиль/коза 50% как и с подбрасыванием монетки. Но это совсем не так. Если поменять свое решение и выбрать другую дверь, то шансы выигрыша увеличатся в 2 раза! Опыт подтвердил данное утверждение (см. приложение №5). Т.е. оставив свой выбор, игрок получит автомобиль в одном из трех случаев, а поменяв двух из трех. Статистика телепередачи подтверждает, что те, кто менял свой выбор, выигрывали в два раза чаще.

Это все теория вероятности и она верна на «множестве вариантов». Надеюсь, что этот пример заставит вас задуматься, как быстро взять в руки книгу о теории вероятностей, а также начать ее применять в своей работе. Поверьте, это интересно и увлекательно, да и практический толк есть.

Глава 3. Можно ли выиграть в лотерею или рулетку?

Каждый из нас хоть раз в жизни покупал лотерею или играл в азартные игры, но далеко не все использовали заранее спланированную стратегию. Умные игроки давно перестали надеяться на удачу и включили рациональное мышление.
Дело в том, что каждое событие имеет определенное математическое ожидание, как гласит высшая математика и теория вероятности, и, если правильно оценивать ситуацию, то можно обойти неудовлетворительный исход события.

К примеру, в любой игре, такой, как рулетка, есть возможность играть с вероятностью на выигрыш 50%, ставя на выпадение четного числа, или красной ячейки. Вот как раз эту игру мы и рассмотрим.

Для обеспечения прибыли, составим несложную стратегию игры. К примеру, мы имеем возможность посчитать, с какой вероятностью выпадет четное число 10 раз подряд - 0,5*0,5 и так 10 раз. Умножаем на 100% и получаем всего 0,097%, или же, примерно, 1 шанс из 1 000.
Столько игр, пожалуй, сыграть вам не удастся и за всю свою жизнь, значит, вероятность выпадения 10 четных чисел подряд практически равна «0». Воспользуемся этой тактикой игры на практике.
Но это еще не все, даже 1 раз из 1 000 – это для нас много, так что сократим это число до 1 из 10 000. Вы спросите, каким образом это можно сделать, не увеличивая заранее предполагаемое количество выпадения четных чисел подряд? Ответ прост – время.

Подходим к рулетке и ждем пока выпадет 2 раза подряд четное число. Это будет каждый раз из четырех расчетных случаев. Теперь ставим минимальную ставку на четное число, к примеру 5р, и выигрываем по 5р за каждое выпадение четного числа, вероятность которого 50%.
Если же выпало нечетное, то увеличиваем следующую ставку в 2 раза, то есть ставим уже 10р. В этом случае вероятность проиграть будет равна 6%. Но не паникуйте, если даже в этот раз вы проиграете! Делайте повышение каждый раз в два раза больше. С каждым разом математическое ожидание на выигрыш увеличивается, и Вы в любом случае останетесь в прибыли.

Важно учесть тот факт, что эта стратегия подходит только для малых ставок, так как, изначально поставив большие деньги - Вы рискуете проиграть все из-за ограничений ставок в будущем. Если у Вас возникли сомнения по данной тактике, сыграйте с другом в угадывание стороны монеты на вымышленные деньги, ставя при проигрыше ставку в два раза больше.
Через время Вы убедитесь, что эта методика проста на практике и очень эффективна! Можно сделать вывод, что играя по данной стратегии, Вы не заработаете миллионы, а лишь выиграете себе на мелкие расходы.

Заключение

Изучая тему «теории вероятности в жизни», я поняла, что это огромный раздел науки математики. И изучить его в один заход невозможно.

Перебрав множество фактов из жизни, и проведя эксперименты в домашних условиях, я поняла, что действительно теория вероятности в жизни имеет место быть. Вероятность события в жизни не так уж часто считается по формулам, скорее интуитивно. Но проверить совпадает ли «эмпирический анализ» с математическим, иногда очень полезно.

Можем ли мы предугадать с помощью этой теории, что случится с нами через день, два, тысячу? Конечно нет. Событий связанных с нами в каждый момент времени очень много. Только на одну лишь типизацию этих событий не хватит и жизни. А уж их совмещение - и вовсе гиблое дело. С помощью этой теории предугадывать можно лишь однотипные события. Например, такое как бросание монеты - это событие из 2 вероятностных результатов. В общем, прикладное применение теории вероятностей связанно с немалым количеством условий и ограничений. Для сложных процессов сопряжено с вычислениями, которые под силу лишь компьютеру .

Но следует помнить, что в жизни есть ещё такое понятие как удача, везение. Это то, что мы говорим - повезло, когда например какой-нибудь человек не учился никогда, никуда не стремился, лежал на диване, играл в компьютер, а через 5 лет мы видим как у него берут интервью на MTV. У него была вероятность 0.001 стать музыкантом, она выпала, ему повезло, такое схождение обстоятельств. То, что мы называем - оказался в нужном месте и в нужное время, когда срабатывают те самые 0.001.

Таким образом, работаем над собой, принимаем решения, которые могут повысить вероятность выполнения наших желаний и стремлений, каждый случай может добавить те заветные 0.00001, которые сыграют решающую роль в итоге.

Список литературы

Теоретическая часть

Глава I. Теория вероятностей – что это?………………..………………....................................…3

1. История возникновения и развития теории вероятностей …………………………..…..3

   Основные понятия теории вероятностей…………………………………………….…….3

   Теория вероятностей в жизни……………………………………………………………....6 Практическая часть

Глава II. ЕГЭ как пример использования теории вероятностей жизни……….…....…... 7

2.1. Единый государственный экзамен ………………. 7

Экспериментальная часть………………………………………...……………………….………..9

Анкетирование………………………………………………………………………………..…9

Эксперимент………………………………………..……………………………………………9

Заключение………………………………………..………………………………………… 10

Литература……………………………………………………………………………....………11

Приложение………………………………………………………………..……………… 12

Высшее назначение математики…состоит в том,

чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Н.Винер

Введение

Мы, не раз слышали или сами говорили “это возможно”, “это не возможно”, это обязательно случится”, “это маловероятно”. Такие выражения обычно употребляют, когда говорят о возможности наступления события, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти.

Цель моего исследования : выявить вероятность успешной сдачи экзамена обучающимися 11 класса путем угадывания правильного ответа, применяя теорию вероятностей.

Для реализации целей я поставила перед собой задачи :

1) собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей, в оспользовавшись различными источниками информации;

2) р ассмотреть использование теории вероятности в различных сферах жизнедеятельности;

3) п ровести исследование по определению вероятности получения положительной оценки при сдаче ЕГЭ путем угадывания правильного ответа.

Я выдвинула гипотезу: с помощью теории вероятностей можно с большой степенью уверенности предсказать события, происходящие в нашей жизни.

Объект исследования – теория вероятностей.

Предмет исследования: практическое применение теории вероятностей .

Методы исследования : 1) анализ,2) синтез, 3) сбор информации, 4) работа с печатными материалами, 5) анкетирование, 6) эксперимент.

Я считаю, что вопрос, исследованный в моей работе, является актуальным по ряду причин:

Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно. Кажется, как можно «предвидеть» наступление случайного события? Ведь оно может произойти, а может и не сбыться! Но математика нашла способы оценивать вероятность наступления случайных событий. Они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

Серьёзный шаг в жизни каждого выпускника – Единый государственный экзамен. Мне тоже предстоит на следующий год сдавать экзамены. Успешная его сдача - это дело случая или нет?

Глава 1.Теория вероятностей.

1. История

Корни теории вероятностей уходят далеко вглубь веков. Известно, что в древнейших государствах Китае, Индии, Египте, Греции уже использовались некоторые элементы вероятностных рассуждений для переписи населения, и даже определения численности войска неприятеля.

Первые работы по теории вероятности, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма, голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли (1654-1705гг.). Он открыл знаменитый закон больших чисел: дал возможность установить связь между вероятностью какого-либо случайного события и частотой его появления, наблюдаемой непосредственно из опыта. С ледующий период истории теории вероятностей (XVIII в. и начало Х I Х в.) связан с именами А. Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса и С. Пуассона. В этот период теория вероятностей находит ряд применений в естествознании и технике .

Третий период истории теории вероятностей , ( вторая половина XIX в.) связан в основном с именами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова. Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 году математиком А. Н. Колмогоровым.

1. Определение и основные формулы

Итак, насколько эта теория полезна в прогнозировании и насколько она точна? Каковы ее основные тезисы? Какие полезные наблюдения можно вынести из текущей теории вероятностей?

Основным понятием теории вероятностей является вероятность . Это слово достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу». В словаре С.И.Ожегова дается толкование слова вероятность как «возможности осуществления чего-нибудь». И здесь же дается определение понятию теории вероятностей как «разделу математики, изучающей закономерности, основанные на взаимодействии большого числа случайных явлений».

В учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов под редакцией Ш.А.Алимова дается следующее определение: т еория вероятностей - раздел математики, который «занимается исследованием закономерностей в массовых явлениях».

При изучении явлений, мы проводим эксперименты, в ходе которых происходят различные события, среди которых различают: достоверные, случайные, невозможные, равновероятные.

Событие U называют достоверным U обязательно произойдет. Например, достоверным будет появление одного из шести чисел 1,2,3,4,5,6 при одном бросании игральной кости. Событие называют случайным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти. Например, при однократном бросании игральной кости может выпасть число 1 или не выпасть, т.е. событие является случайным, потому что оно может произойти, а может и не произойти . Событие V называют невозможным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие V не произойдет . Например, невозможным является выпадение числа 7 при бросании игрального кубика. Равновероятные события – это события, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы для наступления.

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь если случайное, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности.

Принято вероятность события А обозначать буквой Р(А), тогда формула для вычисления вероятности записывается так:

Р(А)=, где m ≤ n (1)

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m , благоприятствующих событию А, к числу исходов n всех исходов испытания. Из формулы (1) следует, что

0≤ Р(А)≤ 1.

Данное определение принято называть классическим определением вероятности . Оно применяется, когда теоретически удается выявить все равновозможные исходы испытания и определить благоприятствующие исследуемому испытанию исходы. Однако на практике часто встречаются испытания, число возможных исходов которых очень велико. Например, без многократного подбрасывания кнопки трудно определить, равновозможны ли ее падения «на плоскость» или на «острие». Поэтому используется и статистическое определение вероятности. Статистической вероятностью называют число, около которого колеблется относительная частота события (W ( A ) – отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведенных испытаний N ) при большом числе испытаний.

Также я познакомилась с формулой Бернулли - это формула в , позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Названа в честь выдающегося швейцарского математика , выведшего формулу:

P(m)=

Чтобы найти каковы шансы наступления события А в данной ситуации, необходимо :

найти общее количество исходов этой ситуации;

найти количество возможных исходов, при которых произойдёт событие А;

найти, какую часть составляют возможные исходы от общего количества исходов.

1. 1. Теория вероятностей в жизни.

В развитии теории вероятностей весьма большую роль играли задачи, связанные с азартными играми, в первую очередь с игрой в кости.

Игры в кости

Инструментом для игры являются кубики (кости) в количестве от одного до пяти в зависимости от вида игры. Суть игры состоит в выбрасывании кубиков и дальнейшем подсчёте очков, количество которых и определяет победителя. Основной принцип игры в кости - каждый игрок по очереди бросает некоторое количество игральных костей (от одной до пяти), после чего результат броска (сумма выпавших очков; в некоторых вариантах используются очки каждой кости по отдельности) используется для определения победителя или проигравшего.

Лотерея

Лотерея - организованная игра, при которой распределение выгод и убытков зависит от случайного извлечения того или иного билета или номера (жребия, лота).

Карточные игры

Карточная игра - игра с применением игральных карт, характеризуется случайным начальным состоянием, для определения которого используется набор (колода).

Важным принципом практически всех карточных игр является случайность порядка карт в колоде.

Игровые автоматы

Известно, что в игровых автоматах скорость вращения барабанов зависит от работы микропроцессора, повлиять на который нельзя. Но можно вычислить вероятность выигрыша на игровом автомате, в зависимости от количества символов на нем, числа барабанов и других условий. Однако выиграть это знание вряд ли поможет. В наше время наука о случайном очень важна. Она применяется в селекции при разведении ценных сортов растений, при приемке промышленной продукции, при расчете графика разгрузки вагонов и т.д.

Глава II. ЕГЭ как пример использования теории вероятностей жизни

2.1. Единый государственный экзамен

Я обучаюсь в 10 классе, и на следующий год мне предстоит сдавать экзамены.

Среди нерадивых учеников возник вопрос: «А нельзя ли выбрать наугад ответ и при этом получить положительную оценку за экзамен?» Я провела опрос среди обучающихся: можно ли практически угадать 7 заданий, т.е. сдать ЕГЭ по математике без подготовки. Результаты такие: 50% учащихся считают, что смогут сдать экзамен указанным выше способом.

Я решила проверить, правы ли они? Ответить на этот вопрос можно путем использования элементов теории вероятностей. Я хочу проверить это на примере предметов, обязательных для сдачи экзаменов: математика и русский язык и на примере наиболее предпочитаемых предметов в 11 классе. По данным 2016 года 75% выпускников МБОУ «Кружилинская СОШ» выбрали обществознание.

А) Русский язык. По данному предмету тест включает 24 заданий из которых 19 заданий с выбором ответа из предложенных. Для того, чтобы пройти порог на экзамене в 2016 году достаточно правильно выполнить 16 заданий. Каждое задание имеет несколько вариантов ответов, один из которых правильный. Определить вероятность получения положительной оценки на экзамене можно по формуле Бернулли:

Схема Бернулли описывает эксперименты со случайным исходом, заключающиеся в следующем. Проводятся n последовательных независимых одинаковых экспериментов, в каждом из которых выделяется одно и тоже событие А, которое может наступить или не наступить в ходе эксперимента. Так как испытания одинаковы, то в любом из них событие А наступает с одинаковой вероятностью. Обозначим ее р = Р(А). Вероятность дополнительного события обозначим q. Тогда q = P(Ā) = 1-p

Пусть событие А – это правильно выбранный ответ из четырех предложенных в одном задании первой части. Вероятность события А определена как отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию (т.е. правильно угаданный ответ, а таких случаев 1), к числу всех случаев (таких случаев 4). Тогда p=P(A)= и q=P(Ā)=1-p=.

119759850

0,00163*100%0,163%

Таким образом, вероятность благополучного исхода примерно равна 0,163%!

На примере демонстрационного варианта теста ЕГЭ 2016 года я предложила обучающимся 11 класса выбрать ответы путем угадывания. И вот, что у меня получилось. Средний балл по классу составил 7. Наибольшее количество баллов набрала Софина Яна - 15, наименьшее – Зыков Данил (3 балла). 16 баллов набрал 1 ученик, что составляет 12,5%.(Приложение I)

Обществознание

Первая часть демонстрационного варианта ЕГЭ 2016 года по обществознанию содержит 20 заданий с выбором ответа, из которых только один верный. Определим вероятность получения положительной оценки. Рособрнадзором установлен минимальный первичный балл по обществознанию – 19.

Вероятность получения положительной оценки:

15504

0,000003*100%=0,0003%

Таким образом, вероятность благополучного исхода примерно равна 0,0003%!

Я попросила обучающихся 11 класса угадать ответы по обществознанию. Средний балл составил 4,2 балла. Самый высокий балл -7, самый низкий- 1. Таким образом, ни один обучающийся не смог набрать нужное количество баллов по обществознанию. (Приложение I)

Математика

В 2016 году демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ содержит 20 заданий. Для успешной сдачи экзамена необходимо было решить не менее 7 заданий. Применим формулу Бернулли.

(8)=* *; ==9; (8)=9**=0,000102996;

0,0001*100%=0,01%

Вывод: вероятность получения положительной оценки составляет 0,01%.

Эксперимент, проведенный, среди моих одноклассников показал, что самое большое количество совпадений - 3, средний балл составил 1,7 балла.

Экспериментальная часть

Анкетирование

Анкетирование проводилось среди обучающихся 9-11 классов. Им было предложено ответить на следующий вопрос:

1.Можно ли сдать экзамены без подготовки, угадывая ответ в заданиях?

Результаты проведенного опроса отражены в диаграммах. (Приложение II)

Эксперимент

1.Среди обучающихся 11 класса на примере демонстрационного варианта контрольно-измерительных материалов ЕГЭ-2016 провела эксперимент с угадыванием ответа по русскому языку и обществознанию. Результаты отражены в таблице 1 (Приложение I) .

2.Своим одноклассникам и одноклассницам предложила угадать ответ в демонстрационном варианте по математике за 2016 год, результаты также представлены в приложении I.

В результате проведенного эксперимента и применяя формулу Бернулли, я доказала, что сдать экзамены путем угадывания ответа невозможно. Только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит выпускнику хорошо подготовиться к участию в ЕГЭ, и успешно решить судьбоносную проблему при переходе на более высокий уровень обучения в вуз.

Заключение

В результате проделанной мной работы, я добилась реализации поставленных перед собой задач:

во-первых , поняла, что теория вероятностей - это огромный раздел науки математики и изучить его в один заход невозможно;

во-вторых , перебрав множество фактов из жизни, и проведя эксперименты, я поняла, что действительно с помощью теории вероятностей можно предсказать события, происходящие в различных сферах жизнедеятельности ;

в-третьих , исследовав вероятность успешной сдачи обучающимися 11 класса ЕГЭ по математике, я при шла к выводу , что т олько планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит выпускнику хорошо подготовиться к участию в ЕГЭ. Таким образом, выдвинутая мной гипотеза подтвердилась, с помощью теории вероятностей я доказала, что к экзаменам надо готовиться, а не рассчитывать на авось.

На примере моей работы можно сделать и более общие выводы: подальше держаться от всяких лотерей, казино, карт, азартных игр вообще. Всегда надо подумать, оценить степень риска, выбрать наилучший из возможных вариантов – это, я думаю, пригодится мне в дальнейшей жизни.

Литература

1. Алимов Ш.А.Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы: учеб.для общеобразовательных учреждений: базовый уровень. М.:Просвещение,2010.

2. Бродский Я.С. «Статистика. Вероятность. Комбинаторика»- М.: Оникс; Мир и Образование, 2008 г.

3. Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Методические указания к теме «Статистические исследования»//Математика в школе.-2003.-№3.

4. Гусев В.А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.-М.:Просвещение,1984.

Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей.-М.:Просвещение 1990.

Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений-М.:Просвещение,2007.

Ожегов С.И. Словарь русского языка:.М.:Рус.яз.,1989.

Федосеев В.Н.Элементы теории вероятностей для VII-IX классов средней школы.//Математика в школе.-2002.-№4,5.

Что такое. Кто такой: В 3 т.Т.1 – 4-е изд. перераб.и доп.-М.:Педагогика-Пресс,1997.

Ресурсы:

Методическая разработка урока

« Теория вероятности в жизни ».

Предмет: математика

Преподаватель: Ракитская В.Н.

Введение

План занятия

Методика проведения занятия

2.1.Организационный момент

2.2.Объяснение нового материала

2.3.Закрепление

2.4. Домашнее задание

2.5. Подведение итогов. Оценки за урок

Заключение

Введение .

Тема : «Теория вероятности в жизни» является одной из важных тем в разделе «Теория вероятности».

С целью реализации поставленных целей, мною был выбран урок -коллоквиум. Формы наглядностей на данном уроке выбраны такие, которые не только дополняют совестную информацию преподавателя, но и сами выступают содержательной информацией.

Методическая разработка по проведению урока - коллоквиума с применением различных методов обучения на каждом этапе урока окажет помощь в совершенствовании процесса обучения.

I. План занятия

По дисциплине «Математика» Специальность 080302 «Коммерция» для студентов 2 курса К группы

Дата проведения:

Тема: «Теория вероятностей в нашей жизни»

Эпиграф урока : «Можно и нужно для задач брать примеры из окружающей

жизни»

Цели:

1. Углубить и систематизировать знания по теме «Теория вероятности в нашей жизни»

2. Продолжить развитие умения действовать самостоятельно, планировать и реализовывать свою деятельность, вести контроль и самоконтроль.

3. Продолжить формировать стремление к глубокому усвоению изучаемого материала.

Время: 1 час

Тип урока: Комбинированный

Ход урока

Методы обучения

I . Организационный момент: 1.Взаимное приветствие

2.Проверка состава студентов

Беседа

II . Постановка целей и задач

III . Обобщение и систематизация учебного материала:

1.Доклады

2.Решение задач:

а)на классическое определение

б) на формулу Бернулли

Рассказ с элементами беседы

Решение задач

IV. Домашнее задание

Сочинение на тему: «Теория

V. Итоги урока

2. Методика проведения занятия .

2.1. Организационно - психологический момент. Мотивация.

2.1.1. Сообщение темы и целей урока.

Педагог приветствует студентов. Говорит, что сегодня они познакомятся c основными понятиями теории вероятностей, и рассмотрят, в каких областях применяется теория вероятностей.

2.1.2.Сообщение: Теория вероятности в жизни (историческая справка).

Как наука теория вероятностей зародилась в 17-ом веке. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр. Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hazard , буквально означающего «случай», «риск». Азартными называются те игры (карты, домино и т.п.), в которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности. Риск, играющий важную роль в этих играх, и приводит участников в необычайное состояние сильного увлечения и горячности. Азартные игры практиковались в ту пору главным образом среди знати, феодалов и дворян.

2.2. Объяснение нового материала.

Данная тема имеет широкий спектр межпредметных связей: медицина, азартные игры, промышленности, механика и другие науки.

Рассмотрим задачи на с применением классического определения вероятностей

Задачи:

№1

В колоде 52 карты, их перемешивают, наугад вынимают 3-й карты.

Какова вероятность, что выпадут 3, 7, туз?

Ответ: Р(А)=0,0029 №2

Карточка «Спортлото» содержит 36 чисел. В тираже участвуют 5 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 4 числа?

Ответ: Р(А)=0,00041

2) Вокруг нас происходит очень много событий, исход которых предсказать заранее невозможно. Например, подбрасывая монету, мы не знаем, какой стороной она упадет. Стреляя однотипными снарядами без изменения наводки орудия, в одну точку попасть невозможно. Производя повторные высокоточные (прецизионные) измерения, например, скорости света или очень больших расстояний, обычно получают лишь приблизительно равные, но разные результаты. Не возможно абсолютно точно" предсказать как объемы продаж товаров за фиксированный промежуток времени, так и сумму доходов, получаемых от реализации последних.

Все эти эксперименты производятся в одинаковых условиях, а исходы их различны и непредсказуемы. Такие эксперименты и исходы называются случайными.

Примерами случайных событий являются: соотношение курсов валют; доходность акций; цена реализованной продукции; стоимость выполнения больших проектов; продолжительность жизни человека; броуновское движение частиц, как результат их взаимных соударений и многое другое. Случайность и потребность в консолидации усилий по борьбе со стихией (природы, рынка и т.д.), точнее создание структур для возмещения неожиданного ущерба за счет взносов всех участников, породила теорию и институты страхования. При этом интуитивно ясно, Что случайные явления, происходящие даже с однотипными объектами, могут качественно отличаться друг от друга.

Например, продолжительности жизни в разных странах и в разные эпохи могут принципиально отличаться друг от друга. Первобытные люди жили около 30-40 лет, даже в России за последние годы она подвергается значительным изменениям, то

поднималась до 70 лет, затем начала значительно падать, более того, она различается на 10-15 лет для мужчин и женщин.

Не состоятельно было бы думать, что какие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов. Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории вероятностей. Позднее,с опытом, человек все чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные.

Теорию вероятностей нередко называют «наукой о случайном». На многих примерах можно убедиться в том, что массовые случайные явления тоже имеют свои закономерности, знание которых можно успешно использовать в практической деятельности человека. Например: суммы, выручаемые от реализации товаров на рынке, во многом диктуются случаем - от платежеспособного спроса населения до поведения конкурентов и умения привлечь клиентов.

Задачи на классическое определение вероятности.

№1

Студент знает ответы на 20 теоретических вопросов из 30 и может решить 30 задач из 50предлагаемых на зачете. Какова вероятность того, что студент полностью ответит на билет, который состоит из двух теоретических вопросов и одной задачи?

Ответ: Р(А)=0,23

№2

В партии из 50 изделий 10 бракованных. Для выборочного контроля отобрано 5 изделий.

Какова вероятность того, что среди отобранных изделий бракованными окажутся 2?

Ответ: Р(А)= 0,21

На развитие теории вероятностей оказали влияние более серьезные потребности науки и запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторых странах еще в 14-ом веке. В 16 - 17-ом веках учреждение страховых обществ и страхование судов от пожара распространилось во многих европейских странах. Азартные игры были для ученых только удобной моделью для решения задач и анализа понятий теории вероятности.

В начале 18-ого века Якоб Бернулли, развивая идеи Гюйгенса, разработал в своей книге «Искусство предложений», посмертно опубликованной в 1713г., основы комбинаторики как аппарата для исчисления вероятностей - «теорему Бернулли», являющуюся важным частным случаем так называемого «закона больших чисел», открытого в середине прошлого столетия П.Л. Чебышевым. Благодаря теореме Бернулли теория вероятностей шагнула далеко за пределы вопросов азартных игр и применяется теперь во многих областях практической жизни и человеческой деятельности.

Задачи по формуле Якоба Бернулли.

№1

Вероятность того, что образец бетона выдержит нормативную нагрузку, равна 0,9.

Какова вероятность того, что из 7 образцов испытание выдержат ровно 5? Ответ: Р 7 ,5=0,124

№2

Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии равна 0,4. Какова вероятность того, что из 6 сотрудников фирмы заболеют ровно 4? Ответ: Рб,4= 0,138

№3

Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет Здевочки и 2 мальчика.

Вероятность рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми. Ответ: Ps ,3= 0,31

Итак, р азвитие естествознания и техники точных измерений, военного дела и связанной с ним теорией стрельбы, учение о молекулах и кинетической теории газов ставили перед учеными конца 18-ого и начала 19-ого века все новые и новые вые задачи из теории вероятностей. Одной из них была разработка теории ошибок измерений. Этой проблемой занимались многие математики, в том числе Котес, Симпсон, Лагранж, Лаплас.

В настоящее время теория вероятностей продолжает развиваться в тесном контакте с развитием техники и разных ветвей современной теоретической и прикладной математики.

Домашнее задание: Сочинение на тему: «Теория вероятности в нашей жизни» или составить задачи на применение теории вероятности в жизни

Подведение итогов . Оценки за урок.

Заключение

Данная методика проведения урока коллоквиума помогает реализовывать поставленные цели и задачи:

Прививать положительное отношение к знаниям;

Развивать контроль и самоконтроль;

Обобщать и систематизировать знания по разделу «Теория вероятности в жизни»

Обрабатывать вычислительные навыки при решении задач;

Активизировать умственную деятельность на протяжении всего урока;

Прививать интерес к дисциплине;

Пополнять словарный запас.

Тема: Вероятности вокруг нас

Проблема: Как теория вероятности помогает нам в жизни?

Актуальность: Вероятность — одно из основных понятий не только в математической статистике, но и в жизни любого человека.Так каждому из нас каждый день приходится принимать множество решений в условиях неопределенности. Однако эту неопределенность можно «превратить» в некоторую определенность. И тогда это знание может оказать существенную помощь при принятии решения.Как ни странно, но человек часто применяет теорию вероятностей в повседневном быту, хотя может и не знать математические формулы и распределения кривой вероятности, и это не обязательно. Жизненный опыт, логика и интуиция всегда подсказывают человеку его шансы на удачу, будь то поступление на работу, карьера, личная жизнь, решение проблем, возможность выигрыша и т.п. Однако, иногда очень полезно проверить совпадает ли «эмпирический анализ» с математическим,ведь у каждого ‘случайного’ события есть четкая вероятность его наступления.


Цель исcледования: Выяснить,действительно ли благодаря теории вероятности, мы можем предугадывать события.

Гипотеза: Теория вероятности всегда помогает нам, когда мы чего-то хотим или не знаем, как поступить в той или иной ситуации.

Задачи исследования:

• Собрать информацию о теории вероятности
• Узнать интересные факты
• Рассмотреть теорию вероятности в азартных играх
• Провести опрос студентов

Методы исследования:

• Подбор литературы
• Анализ источников информации по теме
• Опрос
• Анализ полученных результатов

Этапы исследования: Я собрала информацию об истории создания теории вероятности.На представленной хронологической ленте можно проследить процесс её развития. А также познакомиться с именами ученых, которые внесли вклад в представления по данной проблеме.

А более подробное описание теории вероятности, интересные факты и применение теории вероятности в жизни вы можете увидеть в моей презентации

Также я провела опрос среди студентов, в котором приняло 30 человек. Для наглядности результатов данные опроса представлены в виде диаграммы.

1) Выберите верное определение теории вероятности

1. Раздел математики, изучающий: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

2. Затрудняюсь ответить.

3. Раздел математики, изучающий все вероятные события

(1-15, 2-5, 3-10)

Вывод: Большинство людей всё таки знает верное определение теории вероятности.

2) Как вы считаете, помогает ли теория вероятности вам в жизни?

Вывод: Мнения разделились, ровно половина людей думает, что теория вероятости никак не может помочь им в жизни.

3) Как вы думаете, с помощью формул теории вероятности можно точно рассчитать вероятность своего выигрыша(лотереи, кости, карты)?

1.Думаю да

2. Не всегда точно

3. Нет, это дело удачи и теория вероятности это определить не может.

(1-9, 2-6, 3-15)



Вывод: В основном, люди полагаются на удачу, нежели на объективные подсчеты.

4) Где впервые стала применяться теория вероятности?

1. В промышленности

2. В политике

3. В азартных играх



Вывод: Мало, кто из людей догадывается, что именно азартные игры стали двигателем процесса развития теории вероятности.

5) Как вы думаете, стоит ли уделять большее внимание изучению данной темы в школе?

1.Да, это поможет детям уметь определять вероятность наступления какого-либо события

2.Нет, это не обязательно

Вывод:Подавляющее большинство людей считают, что в школах нужно уделять большее внимание этой теме.


Выводы:В ходе исследования, моя гипотеза оказалась верна лишь частично, так как теория вероятности не может предсказывать исход абсолютно всех событий, а лишь некоторых. Но теория вероятности действительно может нам помочь, ведь, подсчитав по формуле, свои шансы, мы можем понять стоит ли делать что-то или нет. А без теории вероятности мы бы чаще ошибались, пробуя все подряд.Таким образом, зная теорию вероятности можно объяснить некоторые события нашей жизни. Благодаря теории вероятности, мы уменьшаем наши шансы на ошибку. И всегда лучше сначала узнать какова вероятность успеха, прежде чем делать.

Используемые источники:

А. Манит «Теория вероятности и математическая статика»