Жаропонижающие средства для детей назначаются педиатром. Но бывают ситуации неотложной помощи при лихорадке, когда ребенку нужно дать лекарство немедленно. Тогда родители берут на себя ответственность и применяют жаропонижающие препараты. Что разрешено давать детям грудного возраста? Чем можно сбить температуру у детей постарше? Какие лекарства самые безопасные?
Параллелограммом называется четырехугольник, у которго противоположные стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых
Свойства параллелограмма:
Теорема 22.
Противоположные стороны параллелограма равны.
Доказательство. В параллелограмме АВСD проведем диагональ АС. Треугольники АСD и АСВ равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов. прилежащих к ней: ∠
САВ=∠
АСD, ∠
АСВ=∠
DAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, АВ=CD и ВС=AD, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д. Из равенства этих треугольников также следует равенство соответственных углов треугольников:
Теорема 23.
Противоположные углы параллелограмма равны: ∠
А=∠
С и ∠
В=∠
D.
Равенство первой пары идет из равенства треугольников АВD и CBD, а второй - АВС и ACD.
Теорема 24.
Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов.
Это так, потому что они являются внутренними односторонними углами.
Теорема 25.
Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ВОС и АОD. По первому свойству AD=ВС ∠
ОАD=∠
ОСВ и ∠
ОDА=∠
ОВС как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС. Поэтому треугольники ВОС и АОD равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, ВО=ОD и АО=ОС, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д.
Признаки параллелограмма
Теорема 26.
Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
Доказательство. Пусть у четырехугольника АВСD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис2). Проведем диагональ АС. Треугольникик АВС и ACD равны по трем сторонам. Тогда углы ВАС и DСА равны и, следовательно, АВ параллельна CD. Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.
Теорема 27.
Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
Пусть ∠
А=∠
С и ∠
В=∠
D. Т.к. ∠
А+∠
В+∠
С+∠
D=360 о, то ∠
А+∠
В=180 о и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых). Также докажем и параллельность сторон АВ и CD и заключим, что АВСD является параллелограммом по определению.
Теорема 28.
Если соседние углы четырехугольника, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов, то он является параллелограммом.
Если внутренние односторонные углы в сумме составляют 180 градусов, то прямые праллельны. Значит АВ парал CD и ВС парал AD. Четырехугольник оказывается параллелограммом по определению.
Теорема 29.
Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник - параллелограмм.
Доказательство. Если АО=ОС, ВО=ОD, то треугольники АOD и ВОС равны, как имеющие равны углы (вертикальные) при вершине О, заключенные между парами равных сторон. Из равенства треугольников заключаем, что AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом по признаку 1.
Теорема 30.
Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.
Пусть в четырехугольнике АВСD стороны АВ и CD параллельны и равны. Проведем диагонали АС и ВD. Из параллельности этих прямых следует равенство накрест лежащих углов АВО=СDО и ВАО=ОСD. Треугольники АВО и CDО равны по стороне и прилежащим к ней углам. Поэтому АО=ОС, ВО=ОD, т.е. диагонали точкой пересечения делятся пополам и четырехугольник оказывается параллелограммом по признаку 4.
= 2(AO 2 + BO 2 - 2AO·BO·cosAOB +
+ BO 2 + CO 2 - 2BO·CO·cosBOC) =
= 2(2·(AO 2 + BO 2 - AO·BO(cosAOB - cosAOB))) =
= 4(AO 2 + BO 2) = (2·AO) 2 + (2·BO) 2 = AC 2 + BD 2 .
Что и
требовалось доказать.
Четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны, является параллелограммом. Диагонали — это прямые, соединяющие противоположные вершины. Точка их пересечения является центром симметрии. В общем случае у параллелограмма есть две диагонали, D — длинная и d — короткая.
Найти диагональ параллелограмма по теореме косинусов
- Значение косинусов углов параллелограмма α и β.
D = √a^2 + b^2 — 2ab·cosβ
d = √a^2 + b^2 + 2ab·cosβ
D = √a^2 + b^2 + 2ab·cosα
d = √a^2 + b^2 — 2ab·cosα
Найти диагональ параллелограмма через одну известную диагональ и стороны
Для применения этого метода необходимо знать:
- Длины сторон параллелограмма a и b.
D = √2a^2 + 2b^2 — d^2
Для применения этого метода необходимо знать:
- Площадь параллелограмма.
- Длину одной из диагоналей D или d.
- Угол между диагоналями γ или δ.
D = 2S/d·sinγ = 2S/d·sinδ
d = 2S/D·sinγ = 2S/D·sinδ
Частный случай определения длины диагонали параллелограмма — квадрат
Квадрат — это параллелограмм, в котором все стороны равны и углы составляют 90°. Длины диагоналей в таком случае будут равны D=d и могут быть рассчитаны по теореме Пифагора.
D=d=a*√2
Частный случай определения длины диагонали параллелограмма — прямоугольник
Прямоугольник — это параллелограмм, в котором углы равны и составляют 90°. Длины диагоналей в таком случае будут равны D=d и могут быть рассчитаны по теореме Пифагора.
D=d=√(а^2+b^2)
Свойства параллелограмма.
У параллелограмма противолежащие стороны равны. У параллелограмма противолежащие углы равны.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (рис. 96).
АВ = CD, ВС = AD, ?BAD = ?BCD, ?АВС = ?ADC, AO = OC, BO = OD.
Признаки параллелограмма.
Если у четырёхугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом (рис. 97).
ВС||AD, ВС = AD ? ABCD – параллелограмм.
Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм (рис. 98).
АО = ОС, ВО = OD ? ABCD – параллелограмм.
Свойства прямоугольника.
Для прямоугольника характерны все свойства параллелограмма (у прямоугольника противолежащие стороны равны; у прямоугольника противолежащие углы равны (90°); диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).
Диагонали прямоугольника равны (рис. 99):
Признак прямоугольника.
Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.
Свойства ромба.
Для ромба характерны все свойства параллелограмма (у ромба противолежащие стороны равны – вообще все стороны по определению равны; у ромба противолежащие углы равны; диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (рис. 100).
AC ? BD, ?ABD = ?DВС = ?CDB = ?BDA, ?ВАС = ?CAD = ?ВСА = ?DCA.
Признак ромба.
Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.
Свойства квадрата.
Квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.
Признак квадрата.
Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он – квадрат.
Свойство средней линии трапеции.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме (рис. 101).
Критерии вписанного и описанного четырехугольников.
Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180° (рис. 102).
А + ?С = ?В + ?D = 180°.
Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны (рис. 103).
AB + CD = AD + BC.
Тема урока
- Свойство диагоналей параллелограмма.
Цели урока
- Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
- Сформулировать и доказать свойство диагоналей параллелограмма.
- Научиться применять свойства фигур при решении задач.
- Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
- Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Задачи урока
- Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока
- Вступительное слово.
- Повторение ранее изученного материала.
- Параллелограмм, его свойства и признаки.
- Примеры задач.
- Самостоятельная проверка.
Введение
«Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия».
Свойство противолежащих сторон параллелограмма
У параллелограмма противолежащие стороны равны.
Доказательство.
Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Так как Δ AOB = Δ COD по первому признаку равенства треугольников (∠ AOB = ∠ COD, как вертикальные, AO=OC, DO=OB, по свойству диагоналей параллелограмма), то AB=CD. Точно также из равенства треугольников ВОС и DOA, следует что BC=DA. Теорема доказана.
Свойство противолежащих углов параллелограмма
У параллелограмма противолежащие углы равны.
Доказательство.
Пусть ABCD – данный параллелограмм . И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Из доказанного в теореме о свойства противолежащих сторон параллелограмма Δ ABC = Δ CDA по трем сторонам (AB=CD, BC=DA из доказанного, AC – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ ABC = ∠ CDA.
Так же доказывается, что ∠ DAB = ∠ BCD, которое следует из ∠ ABD = ∠ CDB. Теорема доказана.
Свойство диагоналей параллелограмма
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство.
Пусть ABCD – данный параллелограмм. Проведем диагональ AC. Отметим на ней середину O. На продолжении отрезка DO отложим отрезок OB 1 , равный DO.
По предыдущей теореме AB 1 CD – параллелограмм. Поэтому, прямая AB 1 параллельна DC. Но через точку A можно провести только одну прямую, параллельную DC. Значит, прямая AB 1 совпадает с прямой AB.
Также доказывается, что BC 1 совпадает с BC. Значит, точка С совпадает с С 1 . параллелограмм ABCD совпадает с параллелограммом AB 1 CD. Следовательно, диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.
В учебниках для обычных школ (например, в Погорелове) доказывается она так: диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника. Рассмотрим одну пару и выясним - они равны: основания у них - противоположные стороны, прилежащие к нему соответствующие углы равны как вертикальные при параллельных прямых. То есть отрезки диагоналей попарно равны. Всё.
Всё ли?
Выше доказано, что точка пересечения делит диагонали пополам - если существует. Само её существование приведённое рассуждение не доказывает ни в коей мере. То есть часть теоремы "диагонали параллелограмма пересекаются" остаётся недоказанной.
Забавно, что доказать эту часть намного сложнее. Следует это, кстати, из более общего результата: у любого выпуклого четырёхугольника диагонали будут пересекаться, у любого невыпуклого - не будут.
О равенстве треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников) и другие.
Теореме о равенстве двух треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам Фалес нашел важное практическое применение. В гавани Милета был построен дальномер, определяющий расстояние до корабля в море. Он представлял собой три вбитых колышка А, В и С (АВ = ВС) и размеченную прямую СК, перпендикулярную.СА. При появлении корабля на прямой СК находили точку D такую, чтобы точки D, .В и Е оказывались на одной прямой. Как ясно из чертежа, расстояние CD на земле является искомым расстоянием до корабля.
Вопросы
- Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам?
- Диагонали параллелограмма равны?
- Противолежащие углы параллелограмма равны?
- Сформулируйте определение параллелограмма?
- Сколько признаков параллелограмма?
- Может ли ромб быть параллелограмом?
Список использованных источников
- Кузнецов А. В., учитель математики (5-9 класс), г. Киев
- «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
- Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
- Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»
Над уроком работали
Кузнецов А. В.
Потурнак С.А.
Евгений Петров
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме
, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог,
Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования
открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.