نظریه گروه علم کمال است. نظریه گروه. تاریخچه اکتشافات علمی سخنرانی در مورد نظریه گروه

الکسی ساواتف در مورد دوره سخنرانی ها:

من شما را به دوره آموزشی کوچک خود در مورد نظریه گروه دعوت می کنم که آن را "تئوری گروه مدرسه" نامیده ام.

من معتقدم که نظریه گروه ها را باید در پایه های متوسط ​​مطالعه کرد - تقریباً همزمان با معرفی نماد نمادین (حروف x، y، z، و غیره) زیرا سطح انتزاع منجر به مفهوم کلی یک گروه از سیستم های باقیمانده برای یک ماژول معین (از یک سو) و جایگشت ها (از سوی دیگر)، بالاتر از سطح انتزاع از اعداد 3،4،5 تا نمادها نیست. جایگشت ها در کلاس دوم یا سوم به راحتی قابل درک و تسلط هستند، درست مانند سیستم های باقیمانده برای یک ماژول معین.

در دوره کوتاه، شکاف‌های آموزش مدرسه مربوط به نظریه گروه و نمونه‌های خاص گروه‌ها را پر می‌کنم. حقایق اساسی در مورد باقیمانده ها ایجاد می شود، قضیه کوچک فرما ثابت می شود، زیر گروه های گروه های جایگشت روی نمادهای سه و چهار مورد مطالعه قرار می گیرند، مفهوم زیرگروه عادی یک گروه معین و سادگی یک گروه معرفی می شود.

سپس ثابت می‌شود که گروه جایگشت‌های زوج روی نمادهای n≥5 ساده است (که راه را برای پرسش‌هایی در مورد حل‌پذیری معادلات جبری در رادیکال‌ها باز می‌کند)، و همچنین زیرگروه ترجمه‌های صفحه (فضا) نرمال است. گروه تمام حرکات (مرتبط) جسم مربوطه. گروه‌های حرکتی کم‌بعدی یک خصوصیت کامل دریافت خواهند کرد (قضیه Chales و قوانین ترکیب حرکات انواع مختلف).

الکسی ولادیمیرویچ ساواتف - دکترای علوم فیزیک و ریاضی، متخصص در زمینه تئوری بازی ها، رئیس دانشگاه دیمیتری پوژارسکی، محبوب کننده ریاضیات در بین کودکان و بزرگسالان. به طور همزمان در چندین مؤسسه علمی، از جمله آزمایشگاه مطالعه روابط اجتماعی و تنوع جامعه در NES کار می کند. او در مدرسه تحلیل داده های Yandex سخنرانی می کند و در تحقیقات نظری شرکت می کند. او در ایرکوتسک به عنوان دانشیار در ISU با 0.2 برابر حقوق کار می کند.

نظرات: 0

الکسی ساواتف

هندسه - کلاسیک اقلیدسی، لوباچفسکی، تصویری و کروی - در برنامه های دپارتمان های ریاضیات مدرن (بدون ذکر مدارس) توجه کافی را دریافت نمی کند. در عین حال بصری و فوق العاده زیباست. بسیاری از جملات از نظر بصری واضح و در عین حال غیرمنتظره هستند (چرا هواپیمایی که از ایرکوتسک به لیسبون پرواز می کند ابتدا در جهت نوریلسک پرواز می کند؟) در 8 سخنرانی، دانش آموزان با اطلاعات اولیه در این زمینه از ریاضیات آشنا می شوند. ، که قدمت آن به بیش از دو هزار سال قبل باز می گردد. ما با مطالب بسیار پیچیده‌تری که مستقیماً به شاخه‌های علم مدرن منتهی می‌شود، پایان خواهیم داد. مبانی نظریه گروه و جبرهای دروغ پوشش داده خواهد شد.

الکسی ساواتف

نظریه گالوا شاخه‌ای از جبر است که به شما امکان می‌دهد برخی از سؤالات نظریه میدان را به زبان نظریه گروه دوباره فرموله کنید و آنها را به نوعی ساده‌تر کنید. نظریه گالوا یک رویکرد واحد و ظریف برای حل مسائل کلاسیک ارائه می دهد: چه اشکالی را می توان با قطب نما و خط مستقیم ساخت؟ کدام معادلات جبری را می توان با استفاده از عملیات استاندارد جبری (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و ریشه یابی) حل کرد؟

الکسی ساواتف

الکسی ساواتف، الکسی سمیخاتوف

سوال علم

چرا ریاضیدانان مدام مسائل غیر قابل حل جدیدی را مطرح می کنند؟ چرا ریاضیات مدرن مورد نیاز است؟ در میان دانشمندانی وجود ندارد که همه زمینه های علوم ریاضی مدرن را درک کند. و ریاضیدانان با مسائل غیرقابل حل بیشتری روبرو می شوند و سپس برای چندین دهه با آنها مبارزه می کنند. این همه برای چیست؟ و ریاضیات چه ربطی به زندگی ما دارد؟ مهمان برنامه دکتر علوم فیزیک و ریاضی الکسی ساواتف است. مصاحبه توسط الکسی سمیخاتوف.

الکساندر بوفتوف

آناتولی ورشیک

فقط اخیراً، و مثل همیشه، به طور همزمان و مستقل، چندین گروه از ریاضیدانان به دلایل مختلف نیاز به مطالعه سیستماتیک زیرگروه های انتخاب شده به طور تصادفی از یک گروه معین داشتند. برای سخنران، این مناسبت وظیفه یافتن معیارهای صرف-ناغیر در شبکه همه زیرگروه های یک گروه معین بود. این مسئله برای تئوری بازنمایی ها (بازنمایی های عاملی برخی گروه ها) و برای خود نظریه سیستم های دینامیکی (اقدامات کاملاً غیر آزاد) مهم است. دلایل دیگر رفتار مجانبی اعداد بتی در فضاهای متقارن محلی، اعمال گروه ها روی درختان، تئوری راه رفتن در فضاهای همگن تصادفی، و ظاهراً این همه نیست. این گزارش به مفاهیم کلی، تجزیه و تحلیل یک مثال اساسی، یعنی اینکه یک زیر گروه تصادفی از یک گروه متقارن چیست - محدود و نامتناهی، و در نهایت، توضیحی در مورد چگونگی ارتباط همه اینها با نظریه شخصیت ها اختصاص خواهد یافت.

اوگنی اسمیرنوف

گروه‌های بازتابی گروهی از حرکات گسسته از فضایی با انحنای ثابت (کره، فضای اقلیدسی یا هذلولی) هستند که توسط مجموعه‌ای از بازتاب‌ها ایجاد می‌شوند. گروه های بازتابی اغلب در مسائل مختلف جبری به طرز شگفت آوری ظاهر می شوند.

ایوان آرژانتسف

این دوره به مطالعه یک شی فوق العاده و کاملاً ابتدایی مانند جبرهای انجمنی جابجایی محدود بعدی روی اعداد مختلط می پردازد. در اینجا اثبات اولین نتایج ساختاری بسیار آسان است، اما دستیابی به یک طبقه بندی کامل به سختی امکان پذیر است. ما در مورد تکنیک‌های مختلف کار با جبرهای محدود (حداکثر ایده‌آل‌ها و جبرهای محلی، فیلتراسیون و درجه‌بندی، دنباله و پایه هیلبرت-ساموئل) بحث خواهیم کرد و شرح صریحی از جبرهای کم‌بعد به دست خواهیم آورد. به نظر می رسد که جبرهای محدود بعدی ارتباط نزدیکی با اعمال مدار باز گروه های ماتریس جابجایی بر روی فضاهای افین و تصویری دارند. این ارتباط را توضیح خواهیم داد. در فرآیند توضیح، مفاهیمی مانند شارع عملگر خطی، نمایش گروهی و مدول چرخه‌ای، جبر دروغ و پوشش جهانی آن به طور طبیعی به وجود می‌آیند.

میخائیل تیمکین

با قرار دادن چهار وجهی در کنار یکدیگر در امتداد صورت آنها، می توان نمونه هایی از مجتمع های ساده - یک شی ریاضی مهم - به دست آورد. بیایید مثلث های چنین ساختاری را سیاه و سفید رنگ کنیم و اگر هر چهار وجهی دارای تعداد مساوی وجه های سیاه و سفید باشد، رنگ آمیزی را خوب بنامیم. معلوم می‌شود که در مورد کره‌های کم‌بعد (به طور استاندارد تقسیم‌بندی ساده)، مجموعه مثلث‌های سفید شیئی است که ارزش مطالعه دارد: یک نوار موبیوس یا یک صفحه نمایشی. هنگامی که دقیقاً نحوه تقسیم این اجسام به مثلث را توصیف می کنیم، طبیعتاً ایکو وجهی خواهیم داشت - یک چند وجهی منظم شگفت انگیز. مطالعه گروه خود-ترکیب های آن به ما امکان می دهد بفهمیم چقدر رنگ های خوب وجود دارد. در طول مسیر با مفاهیم اساسی مهم ریاضی مانند گروه پیچیده و تقارن ساده فوق، عمل و غیره مواجه خواهیم شد.

ایوان لوسف

سخنرانی ها اطلاعات اولیه را از نظریه بازنمایی گروه های محدود معرفی می کنند، رویکرد ورشیک و اوکونکوف را به نمایش گروه های متقارن توضیح می دهند، در مورد آنچه در مشخصه مثبت اتفاق می افتد و جبرهای دروغ با آن صحبت می کنند. این دوره باید برای دانش آموزانی که از سال اول شروع می شود و به خوبی بر درس جبر تسلط دارند قابل درک باشد.

تمامی کتاب ها به صورت رایگان و بدون ثبت نام قابل دانلود هستند.

الیوت، داوبر. تقارن در فیزیک در 2 جلد. 1983 364+414 ص djvu. در یک آرشیو 7.4 مگابایت.
تک نگاری دو جلدی (توسط فیزیکدانان انگلیسی) در مورد اصول تقارن در فیزیک. جلد 1 به اختصار نظریه گروه ها و نظریه بازنمایی های گروهی را که زیربنای نظریه تقارن است، تشریح می کند و کاربردهای این نظریه را در تجزیه و تحلیل ساختار اتم ها و شبکه های بلوری و همچنین در توصیف تقارن مورد توجه قرار می دهد. خواص هسته و ذرات بنیادی جلد 2 ساختار الکترونیکی مولکول ها، خواص تقارن فضا و زمان، گروه های جایگشت و گروه های واحد، و خواص ذرات در میدان های خارجی را مورد بحث قرار می دهد.
برای طیف وسیعی از فیزیکدانان و ریاضیدانان - محققین، دانشجویان تحصیلات تکمیلی و دانشجویان.
این کتاب توسط یک فیزیکدان و برای فیزیکدانان نوشته شده است. این یک انتزاع ساده برای ریاضیدانان نیست، اما بسیاری از سیستم های فیزیکی در نظر گرفته می شوند. من توصیه می کنم.

دانلود

NEW O.V. بوگوپولسکی. مقدمه ای بر نظریه گروه. 2002 148 ص djvu. 732 کیلوبایت
هدف این کتاب ارائه یک مقدمه سریع و عمیق بر نظریه گروه است. بخش اول مبانی نظریه را بیان می کند، گروه پراکنده Mathieu را می سازد و ارتباط آن را با نظریه کدگذاری و سیستم های اشتاینر توضیح می دهد. بخش دوم به بررسی تئوری Bas-Serre در مورد گروه هایی که روی درختان عمل می کنند می پردازد. از ویژگی های کتاب، رویکرد هندسی به نظریه گروه های متناهی و نامتناهی است. تعداد زیادی مثال، تمرین و تصویر وجود دارد.
برای محققان، دانشجویان تحصیلات تکمیلی و دانشجویان دانشگاه.
این مقدمه کاملاً پیچیده است و نیاز به دانش خوب جبر دارد.

. . . . . . . . . . . . دانلود

خوب. امینوف. نظریه تقارن. یادداشت ها و تکالیف سخنرانی. 2002 192 ص djvu.
این راهنما بر اساس درس سخنرانی های "فصل های اضافی ریاضیات" که سال ها توسط نویسنده برای دانشجویان متخصص در فیزیک نظری خوانده می شد، درس انتخابی "نظریه تقارن" برای دانش آموزان سال سوم و دوره "فصل های اضافی ریاضیات با برنامه های کاربردی" برای دانشجویان کارشناسی ارشد در دانشکده فیزیک. محتوای سخنرانی ها عمدتاً در قالب یادداشت های کوتاه ارائه شده است. موضوعاتی که وظایف آزمایشگاهی بر روی آنها انجام می شود با جزئیات بیشتری توضیح داده شده است. دانش آموزان برای هر بخش در کلاس های عملی و به طور مستقل مسائل را حل می کنند. به طور کلی، این راهنما برای کمک به دانش آموزان در کارهای فوق برنامه با ادبیات توصیه شده در نظر گرفته شده است.

. . . . . . . . . . . . دانلود

V.A. Artamonov, Yu. گروه ها و کاربرد آنها در فیزیک، شیمی، کریستالوگرافی. سال 2005. 512 ص djvu. 5.4 مگابایت
تئوری گروه ها به طور سیستماتیک ارائه شده و کاربردهای فیزیکوشیمیایی آن در نظر گرفته شده است. سازه‌های گروهی پایه، نظریه گروه‌های آبلی و کریستالوگرافی به‌طور محدود تولید شده، مبانی تئوری بازنمایی گروه‌های محدود، گروه‌های خطی و جبرهای دروغ آنها ارائه شده‌اند. شبه بلورها، گروه‌های عادی‌سازی مجدد، جبرهای Hopf و گروه‌های توپولوژیکی به طور خلاصه مورد بحث قرار می‌گیرند. روابط تقارن در مکانیک، طیف‌سنجی مولکولی، فیزیک حالت جامد، و همچنین در تئوری اتم‌ها، هسته‌ها و ذرات بنیادی مورد بحث قرار می‌گیرد.
برای دانشجویان علوم طبیعی موسسات آموزش عالی. تمبر UMO بر آموزش کلاسیک دانشگاهی. ممکن است برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی و محققین مفید باشد.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .دانلود

قضیه آلکسیف V.B. آبل در مسائل و راه حل ها. سال 2001. 190 صفحه PDF. 1.4 مگابایت
در این کتاب خواننده یاد می گیرد که چگونه معادلات جبری درجه 3 و 4 را با یک مجهول حل کند و چرا هیچ فرمول کلی (در رادیکال) برای حل معادلات درجه بالاتر وجود ندارد. در همان زمان، او با دو بخش بسیار مهم ریاضیات مدرن آشنا می شود - نظریه گروه و نظریه توابع یک متغیر مختلط. یکی از اهداف اصلی این کتاب این است که خواننده بتواند قدرت خود را در ریاضیات امتحان کند. برای انجام این کار، تقریباً تمام مطالب در قالب تعاریف، مثال ها و تعداد زیادی مسئله همراه با دستورالعمل ها و راه حل ها ارائه شده است.
این کتاب برای طیف وسیعی از خوانندگان علاقه مند به ریاضیات جدی (از دانش آموزان دبیرستانی) در نظر گرفته شده است و خواننده نیازی به داشتن دانش قبلی خاصی ندارد. این کتاب همچنین می تواند به عنوان راهنمای کار یک دایره ریاضی باشد. من به دومی شک دارم. اکنون چنین دانش آموزی وجود ندارد. اما کتاب مفید است.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . دانلود

Barut A., Ronchka R. نظریه بازنمایی گروهی و کاربردهای آن. در 2 کتاب 1980 djvu. در یک آرشیو
کتاب 1. فصل 1-11. 452 ص 4.9 مگابایت. کتاب 1. فصل های 12-21+ ضمیمه ها. 393 صفحه 2.8 مگابایت.
نویسندگان این مونوگراف، دانشمندان مشهور آمریکایی و لهستانی، متخصصان روش های نظری گروهی در فیزیک هستند. این کتاب روش‌ها و نتایج مؤثر مدرن تئوری بازنمایی گروه‌ها و جبرهای دروغ را تشریح می‌کند و طیف وسیعی از کاربردهای فیزیکی آنها را منعکس می‌کند. نویسندگان به ترکیب موفقی از دقت ریاضی ارائه، کامل بودن پوشش مطالب با وضوح و دسترسی به زبان دست یافته اند. تمام فصل ها با تمرین هایی با دقت انتخاب شده همراه هستند.
در اول (فصل 1 - 11) نظریه کلی گروه های دروغ و جبرها ارائه شده است، نمایش های بعدی محدود آنها به صراحت ساخته شده است، نظریه نمایش جبرهای دروغ توسط عملگرهای نامحدود، و نظریه یکپارچگی نمایش های جبرهای دروغ. ارائه می شوند.
در دوم: کاربردهای کوارتودینامیک بازنمودهای جبر دروغ. نظریه گروه و بازنمایی گروه در نظریه کوانتومی. تجزیه و تحلیل هارمونیک در گروه های دروغ. توابع ویژه و نماهای گروهی. تحلیل هارمونیک در فضاهای همگن بازنمایی های القایی نمایش القایی محصولات نیمه مستقیم. قضایای اساسی در مورد بازنمایی های القایی. بازنمایی القایی از گروه های دروغ نیمه ساده.

. . . . . . . . . . . . دانلود

ویلنکین. توابع ویژه و نظریه نمایش گروهی. حجم 4.3 مگابایت 600 صفحه djvu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . دانلود

گلفاند، مینلوس، شاپیرو. نمایش گروه چرخش و گروه لورنتس، کاربردهای آنها. حجم 3.8 مگابایت 367 ص djvu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . دانلود

نایمارک. نظریه بازنمایی گروهی حجم 24.0 مگابایت 564 ص پی دی اف.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . دانلود

Rumer Yu. B., Fet A. I. نظریه تقارن واحد. 405 ص djvu. 3.2 مگابایت
این کتاب شامل 18 فصل است که به سه بخش تقسیم شده است: مقدمه ریاضی، طبقه بندی واحد هادرون ها، فرمول های جرم.
بخش اول حقایق اساسی را از تئوری فضاهای خطی پیچیده و ساختارهای روی آنها، ویژگی‌های اساسی گروه‌ها، جبرها و نمایش‌های آنها بیان می‌کند. در طول ارائه، صورت‌بندی دقیق تعاریف و قضایا ارائه می‌شود. این بخش شامل نظرات متعددی است که معنی و دلیل نتایج ارائه شده را توضیح می دهد.
بخش دوم به تفصیل مطالعه آن گروه‌های خاص (و بازنمایی‌های آنها) را ارائه می‌کند که برای توصیف تقارن تعاملات قوی مورد نیاز است، به عنوان مثال. گروه های SU(2)، SU(3)، SU(4) و SU(6). در این بخش به جنبه هایی از نظریه که برای فیزیک ضروری است توجه می شود.
بخش آخر به استخراج فرمول های جرم اختصاص دارد و بیشتر فیزیکی است تا ریاضی. برای فرمول های انبوه، توجیه جدیدی پیشنهاد شده است که به آنها اجازه می دهد به روشی گسترده تر تفسیر شوند. کتابشناسی شامل آثار اصلی در مورد موضوع مورد بحث است.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . دانلود

همرمش. نظریه گروه و کاربردهای آن در مسائل فیزیکی حجم 4.6 مگابایت 590 ص djv.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . دانلود

کی شوالی. نظریه گروه دروغ. در 3 جلد. djvu.
جلد 1. 1948. 316 ص 7.7 مگابایت.
نقطه قوت کتاب K. Chevalley توجه منظم آن به گروه های دروغ به عنوان یک کل است، برخلاف دیدگاه محلی که معمولاً در کتابچه های راهنمای قدیمی انجام می شود. این سیستم ارائه اولین بار توسط L. S. Pontryagin در کتاب خود "Theory of Continuous Groups" (G.T.T.I. 1938) پیاده سازی شد که در آن، با این حال، تنها آخرین فصل ها به نظریه واقعی گروه های دروغ اختصاص داده شده است.
کتاب K. Chevalley برای ریاضیدانان علمی، دانشجویان ارشد و دانشجویان کارشناسی ارشد در نظر گرفته شده است. برای مطالعه آن باید مفاهیم پایه توپولوژی ترکیبی و نظری مجموعه و نظریه گروه انتزاعی را داشته باشید.
جلد 2. گروه های جبری. 1958 316 ص 7.7 مگابایت.
جلد دوم به ارائه نظریه گروه های جبری (گروه هایی از ماتریس ها که با روابط جبری بین ضرایب تعریف می شوند) اختصاص دارد، نظریه ای که در سال های اخیر تا حد زیادی در آثار خود نویسنده توسعه یافته است. این اولین ارائه سیستماتیک نظریه گروه های جبری در ادبیات جهان است.
این کتاب برای ریاضیدانان - دانشجویان ارشد، دانشجویان کارشناسی ارشد و محققان در نظر گرفته شده است.
جلد 3. نظریه عمومی جبرهای دروغ. 1958 306 ص 4.8 مگابایت.
جلد سوم نظریه کلی جبرهای دروغ را ارائه می کند. تاکنون هیچ تک نگاری به زبان روسی به طور خاص به این نظریه اختصاص نداشته است.
این جلد، مانند جلدهای قبلی، برای ریاضیدانان - دانشجویان ارشد، دانشجویان تحصیلات تکمیلی و محققان در نظر گرفته شده است.

گروه های جایگشت ریشه ها قبلا توسط لاگرانژ و . اما شایستگی کسی که ویژگی‌های اساسی مفاهیم را صورت‌بندی کرده و در حل مسائل جدید و دشوار به کار می‌برد، انکارناپذیر است. این کار توسط ریاضیدان فرانسوی گالوا برای مفهوم گروه انجام شد. تنها پس از کار او، آن را به موضوع مطالعه برای ریاضیدانان تبدیل شد.

Évariste Galois (1811-1832) در Bourg-la-Reine متولد شد. در سال 1823، والدین Evariste او را برای تحصیل در کالج سلطنتی پاریس فرستادند. در اینجا او به ریاضیات علاقه مند شد و شروع به مطالعه مستقل آثار لژاندر، اویلر، لاگرانژ و گاوس کرد.

گالوا کاملاً اسیر ایده های لاگرانژ شده است. به نظر او مانند یک بار هابیل، راه حلی برای معادله درجه پنجم پیدا کرده است. او تلاش ناموفقی برای ورود به دانشگاه پلی تکنیک انجام می دهد، اما دانش او از آثار لژاندر و لاگرانژ کافی نبود و گالوا به کالج باز می گردد.

در اینجا شادی برای اولین بار به او لبخند می زند - او با معلمی آشنا می شود که قادر به قدردانی از نبوغ او بود. ریچارد می دانست که چگونه از برنامه های رسمی بالاتر برود، او از پیشرفت علم آگاه بود و به دنبال گسترش افق های دانش آموزان خود بود. نظرات ریچارد در مورد اواریست ساده است: "او فقط در عالی ترین زمینه های ریاضیات کار می کند."

و در واقع، در سن هفده سالگی، گالوا اولین نتایج علمی خود را دریافت کرد. در سال 1829، یادداشت او "اثبات یک قضیه بر کسرهای مداوم متناوب" منتشر شد. در همان زمان، گالوا اثر دیگری را به آکادمی علوم پاریس ارائه کرد. او در کوشی گم شد.

گالوا برای بار دوم سعی می کند وارد دانشکده پلی تکنیک شود و باز هم موفق نمی شود. به زودی اتفاقی اضافه شد که مرد جوان را شوکه کرد: پدرش که توسط مخالفان سیاسی شکار شده بود، خودکشی کرد. بدبختی هایی که برای اواریست پیش آمد ناگزیر او را تحت تأثیر قرار داد: او عصبی و تندخو شد.

در سال 1829، گالوا وارد مدرسه عادی شد. نامزدهایی را برای عنوان معلم تربیت می کرد. در اینجا Evariste تحقیقاتی در مورد تئوری معادلات جبری انجام داد و در سال 1830 کار خود را به رقابت آکادمی علوم پاریس ارسال کرد. فوریه شروع به خواندن نسخه خطی می کند، اما به زودی می میرد. نسخه خطی دوم نیز مانند نسخه اول ناپدید می شود.

زمانی در زندگی گالوا فرا رسید که پر از رویدادهای مهم بود. او به جمهوری خواهان پیوست، به انجمن دوستان مردم پیوست و در توپخانه گارد ملی نام نویسی کرد. به دلیل صحبت علیه رهبری از مدرسه عادی اخراج شد.

در 14 ژوئیه 1831، برای بزرگداشت سالگرد بعدی هجوم به باستیل، تظاهرات جمهوری خواهان برگزار شد. پلیس بسیاری از تظاهرکنندگان، از جمله گالوا را دستگیر کرد. محاکمه گالوا در 23 اکتبر 1831 برگزار شد. او به 9 ماه زندان محکوم شد. گالوا تحقیقات خود را در زندان ادامه داد.

در صبح روز 30 می 1832، در جریان یک دوئل در شهر جنتیلی، گالوا بر اثر اصابت گلوله به شکم به طور مرگبار زخمی شد. یک روز بعد درگذشت.

آثار ریاضی گالوا، حداقل آنهایی که باقی مانده اند، به شصت صفحه کوچک می رسد. پیش از این هرگز آثاری به این حجم کم برای نویسنده شهرت گسترده ای به ارمغان نیاورده بود.

در سال 1832، گالوا در حالی که در زندان بود، برنامه ای را تنظیم کرد که تنها هفتاد سال پس از مرگ او منتشر شد. اما حتی در آغاز قرن بیستم علاقه جدی برانگیخت و به زودی فراموش شد. فقط ریاضیدانان مدرن که کار نسل های بسیاری از دانشمندان را ادامه دادند، سرانجام رویای گالویس را محقق کردند.

گالوا خاطرات معروف خود را آغاز کرد: "از داورانم التماس می کنم حداقل این چند صفحه را بخوانند." با این حال، ایده های گالوا به قدری عمیق و جامع بود که درک آنها برای هر دانشمندی در آن زمان واقعاً دشوار بود.

«...بنابراین، من معتقدم که ساده‌سازی‌هایی که با بهبود محاسبات به دست می‌آیند (البته منظورمان ساده‌سازی‌های بنیادی است، نه ساده‌سازی‌های فنی) اصلاً نامحدود نیست. لحظه‌ای فرا می‌رسد که ریاضی‌دانان می‌توانند تبدیل‌های جبری را به وضوح پیش‌بینی کنند. من نمی گویم که تجزیه و تحلیل نمی تواند به چیز جدیدی فراتر از چنین آینده نگری دست یابد، اما من فکر می کنم که بدون آن یک روز خوب همه ابزارها بیهوده خواهند بود.

اینکه محاسبات را تابع اراده خود قرار دهید، عملیات های ریاضی را گروه بندی کنید، یاد بگیرید آنها را بر اساس درجه دشواری طبقه بندی کنید و نه بر اساس علائم بیرونی - اینها وظایف ریاضیدانان آینده است همانطور که من آنها را درک می کنم، این مسیر است. من می خواهم دنبال کنم.

اجازه ندهید کسی شوق من را با میل برخی از ریاضیدانان برای پرهیز از هرگونه محاسبه اشتباه بگیرد. آنها به جای فرمول های جبری، از استدلال های طولانی استفاده می کنند و با استفاده از زبانی که برای انجام چنین کارهایی مناسب نیست، به دست و پا گیر بودن تبدیل های ریاضی، دست و پا گیر بودن توصیف شفاهی این تبدیل ها را اضافه می کنند. این ریاضیدانان صد سال عقب هستند.

اینجا همچین اتفاقی نمیوفته اینجا من دارم تحلیل تحلیل می کنم. در عین حال، پیچیده ترین تبدیل های شناخته شده در حال حاضر (توابع بیضوی) تنها به عنوان موارد خاص، بسیار مفید و حتی ضروری، اما هنوز کلی نیستند، بنابراین امتناع از تحقیقات گسترده تر یک اشتباه مهلک خواهد بود. زمانی فرا خواهد رسید که دگرگونی‌های مورد بحث در تحلیل بالاتری که در اینجا به آن اشاره شده است، عملاً انجام می‌شوند و بر اساس درجه سختی طبقه‌بندی می‌شوند، و نه بر اساس نوع عملکردهایی که در اینجا ایجاد می‌شوند.»

در اینجا لازم است به عبارت "عملیات ریاضی گروهی" توجه شود. گالوا بدون شک به این معنی نظریه گروهی است.

اول از همه، گالوا به مسائل ریاضی فردی علاقه مند نبود، بلکه به ایده های کلی که کل زنجیره ملاحظات را تعیین می کند و مسیر منطقی فکر را هدایت می کند، علاقه مند بود. شواهد او مبتنی بر یک نظریه عمیق است که امکان ترکیب تمام نتایج به دست آمده در آن زمان و تعیین توسعه علم را برای مدت طولانی فراهم می کند. چندین دهه پس از مرگ گالوا، دیوید هیلبرت، ریاضیدان آلمانی، این نظریه را «ایجاد چارچوب معینی از مفاهیم» نامید. اما مهم نیست که چه نامی به آن ضمیمه شده است، بدیهی است که حوزه بسیار وسیعی از دانش را در بر می گیرد.

گالوا می‌نویسد: «در ریاضیات، مانند هر علم دیگری، سؤالاتی وجود دارد که در همان لحظه نیاز به راه‌حل دارند، این‌ها همان مسائل مبرمی هستند که ذهن متفکران پیشرفته را بدون توجه به اراده و آگاهی آنها تسخیر می‌کنند.»

یکی از مسائلی که Évariste Galois روی آن کار کرد حل معادلات جبری بود. اگر فقط معادلات را با ضرایب عددی در نظر بگیریم چه اتفاقی می افتد؟ از این گذشته، ممکن است این اتفاق بیفتد که اگرچه هیچ فرمول کلی برای حل چنین معادلاتی وجود ندارد، اما ریشه های هر معادله جداگانه را می توان در رادیکال بیان کرد. اگر اینطور نباشد چه؟ سپس باید نوعی علامت وجود داشته باشد که به ما امکان می دهد تعیین کنیم آیا معادله معین با رادیکال حل می شود یا خیر؟ این علامت چیست؟

اولین کشف گالوا این بود که درجه عدم قطعیت را در معانی آنها کاهش داد، یعنی برخی از "خواص" این ریشه ها را مشخص کرد. کشف دوم مربوط به روشی است که گالوا برای به دست آوردن این نتیجه استفاده کرد. گالوا به‌جای مطالعه خود معادله، «گروه» یا به‌طور مجازی «خانواده» آن را مطالعه کرد.

A. Dalma می‌نویسد: «گروه مجموعه‌ای از اشیاء است که ویژگی‌های مشترک خاصی دارند، مثلاً اجازه دهید اعداد حقیقی را به‌عنوان چنین اشیایی در نظر بگیریم عناصر این گروه به جای اعداد واقعی، حرکات روی صفحه مورد مطالعه در هندسه می تواند به عنوان "اشیاء" ظاهر شود حرکت از مثال‌های ساده‌تر به نمونه‌های پیچیده‌تر، به‌عنوان «اشیاء» امکان‌پذیر است که برخی از عملیات‌ها را روی اشیاء انتخاب کنیم. هنگام در نظر گرفتن معادله ای که باید حل شود، او گروه خاصی از عملیات را با آن مرتبط کرد (k. متأسفانه، ما در اینجا فرصتی برای روشن کردن چگونگی انجام این کار نداریم) و ثابت کرد که ویژگی های معادله در ویژگی های این گروه از آنجایی که معادلات مختلف می توانند گروه یکسانی داشته باشند، کافی است به جای این معادلات، گروه متناظر آنها را در نظر بگیریم. این کشف آغاز مرحله مدرن در توسعه ریاضیات بود.

گروه از هر "اشیایی" تشکیل شده باشد: اعداد، حرکات یا عملیات، همه آنها را می توان به عنوان عناصر انتزاعی در نظر گرفت که هیچ ویژگی خاصی ندارند. برای تعریف یک گروه، فقط لازم است قوانین کلی را تدوین کنید که باید رعایت شوند تا مجموعه معینی از "اشیاء" یک گروه نامیده شود. در حال حاضر، ریاضیدانان چنین قواعدی را بدیهیات گروهی می نامند. در همان زمان، بیشتر و بیشتر خواص جدید به طور مداوم کشف می شود. ریاضیدان با اثبات آنها، نظریه را بیش از پیش عمیق می کند. مهم این است که نه خود اشیا و نه عملیات روی آنها به هیچ وجه مشخص نشده باشد. اگر پس از این، هنگام مطالعه یک مسئله خاص، لازم باشد برخی از اشیاء ریاضی یا فیزیکی خاص را که یک گروه را تشکیل می دهند، در نظر بگیریم، بر اساس نظریه عمومی، می توان ویژگی های آنها را پیش بینی کرد. بنابراین تئوری گروه باعث صرفه جویی قابل توجهی در هزینه می شود. علاوه بر این، فرصت‌های جدیدی را برای استفاده از ریاضیات در تحقیقات باز می‌کند."

معرفی مفهوم گروه، ریاضیدانان را از کار سنگین در نظر گرفتن بسیاری از نظریه های مختلف رها کرد. معلوم شد که شما فقط باید "ویژگی های اصلی" این یا آن نظریه را برجسته کنید و از آنجایی که در اصل همه آنها کاملاً مشابه هستند ، کافی است آنها را با همان کلمه مشخص کنید و بلافاصله مشخص می شود که مطالعه جداگانه آنها بیهوده است.

گالوا در تلاش است تا وحدت جدیدی را در دستگاه ریاضی گسترش یافته وارد کند. نظریه گروه، اول از همه، نظم بخشیدن به زبان ریاضی است.

نظریه گروهی که از اواخر قرن نوزدهم شروع شد، تأثیر زیادی بر توسعه تجزیه و تحلیل ریاضی، هندسه، مکانیک و در نهایت فیزیک داشت. متعاقباً به سایر حوزه‌های ریاضیات نفوذ کرد - گروه‌های دروغ در نظریه معادلات دیفرانسیل، گروه‌های کلاین در هندسه ظاهر شدند. گروه های گالیله ای در مکانیک و گروه هایی در نظریه نسبیت نیز به وجود آمدند.

این متن به چند دلیل ظاهر شد. اولاً، اکثریت قریب به اتفاق هیچ ایده ای ندارند که ریاضیات مدرن چه می کند. نظریه گروه البته نه همه ریاضیات مدرن، بلکه فقط بخش کوچکی از آن است، اما در یکی از بالاترین سطوح انتزاع قرار دارد که آن را به نمونه خوبی از شاخه ای از ریاضیات مدرن تبدیل می کند.

ثانیاً، چنین شیء طبیعی و ساده (برای توضیح) به عنوان یک گروه عملاً برای اکثر دانشمندان ناشناخته است. در واقع، چه چیزی می تواند برای یک فرد طبیعی تر و آشناتر از مفهوم تقارن باشد. ما از بدو تولد، به طور ارادی یا غیرارادی، به دنبال تقارن در اجسام اطراف هستیم و هر چه شیء متقارنتر باشد، به نظر ما کاملتر می رسد. یونانیان باستان توپ را یک شکل ایده آل می دانستند، دقیقاً به این دلیل که توپ دارای تقارن های زیادی است. به هر نقاشی معروف نگاهی بیندازید و یک محور واضح (و گاهی بیش از یک) از تقارن خواهید دید. هر قطعه موسیقی در یک چرخه ایجاد می شود و دائماً به موضوع اصلی باز می گردد، یعنی در آنجا نیز تقارن وجود دارد. حتی نماد معروفی مانند صلیب که در بسیاری از ادیان مورد احترام است، به دلیل تعداد زیادی از تقارن ها برای ما زیبا به نظر می رسد: می توان آن را در رابطه با هر یک از قسمت های آن چرخاند و منعکس کرد. اما صلیب را به یک سواستیکا تبدیل کنید و بلافاصله احساس ناراحتی خواهید کرد، زیرا بیشتر تقارن های صلیب را از بین برده اید. بنابراین، این تقارن است که تعیین می‌کند یک شیء خاص تا چه حد به نظر ما کامل می‌آید و نظریه گروه به عنوان علمی که به مطالعه تقارن‌ها می‌پردازد، می‌توان بدون اغراق، علم کمال نامید.

و ثالثاً، من از نمونه دانشمندان و متداولان شگفت انگیز علم مانند سرگئی پوپوف و ایگور ایوانف الهام گرفته ام که مقالات علمی عامه پسند آنها را با علاقه خواندم.

از آنجایی که متن در ابتدا قرار بود برای خواننده‌ای که ریاضیات را در محدوده برنامه درسی مدرسه می‌داند قابل دسترسی باشد، برخی از بخش‌های خاص متن (در واقع، اکثریت قریب به اتفاق آن) حاوی مطالبی است که درک آن دشوارتر از آنچه معمولاً ارائه می‌شود. در یک دوره جبر مدرسه، با یک علامت شروع می شود و با یک علامت خاتمه می یابد (این بدان معنا نیست که درک چنین متنی به چیزی بیش از ریاضیات مدرسه نیاز دارد؛ مشکلاتی از طبیعت منطقی به وجود می آیند). واقعیت این است که نظریه گروه در یکی از بالاترین سطوح انتزاع در ریاضیات مدرن است و بنابراین گروه ها گاهی از عناصری تشکیل می شوند که تصور آنها برای یک خواننده بی تجربه بسیار دشوار است.

نظریه گروه

گروه (ریاضی)

نظریه گروه

مفاهیم اساسی

زیر گروه زیرگروه عادی گروه عامل (نیمه) محصول مستقیم

توپولوژیکی

گروه لی

گروه متعامد O(n)

گروه واحد ویژه SU(n)

G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 گروه لورنتس

گروه پوانکاره

همچنین به "پورتال فیزیکی" مراجعه کنید

نظریه گروه شاخه ای از جبر انتزاعی است که به مطالعه ساختارهای جبری به نام گروه ها و ویژگی های آنها می پردازد.

فهرستی از تعاریف مربوط به نظریه گروه را می توانید در مقاله واژه نامه اصطلاحات نظریه گروه بیابید.

داستان

نظریه گروه دارای سه ریشه تاریخی است: نظریه معادلات جبری، نظریه اعداد و هندسه. ریاضیدانانی که در خاستگاه نظریه گروه ایستاده اند، لئونارد اویلر، کارل فردریش گاوس، جوزف لوئیس لاگرانژ، نیلز هنریک آبل و اواریست گالوا هستند. گالوا اولین ریاضیدانی بود که نظریه گروه را با شاخه دیگری از جبر انتزاعی، نظریه میدان، پیوند داد و نظریه ای را توسعه داد که اکنون نظریه گالوا نامیده می شود.

یکی از اولین مشکلاتی که منجر به پیدایش نظریه گروه شد، مسئله به دست آوردن معادله درجه m بود که دارای m ریشه معادله معین با درجه n (m) بود.< n ). Эту задачу в простых случаях рассмотрел Худде (1659 г.). В 1740 г. Сондерсон заметил, что нахождение квадратичных множителей биквадратных выражений сводится к решению уравнения 6 степени, а Ле Сёр (1748 г.) и Вейринг (с 1762 по 1782 гг.) развили эту идею.

اساس کلی برای نظریه معادلات، بر اساس نظریه جایگشت، در 1770-1771. لاگرانژ را پیدا کرد و بر این اساس نظریه جانشینی متعاقباً رشد کرد. او کشف کرد که ریشه‌های همه حل‌کننده‌هایی که با آنها مواجه شد، توابع منطقی ریشه‌های معادلات مربوطه بودند.

نظریه گروه

او برای مطالعه خصوصیات این توابع، «حساب ترکیبات» (Calcul des Combinaisons) را توسعه داد. کار معاصر Vandermonde (1770) نیز توسعه نظریه گروه را پیش بینی کرد.

پائولو روفینی در سال 1799 اثبات حل نشدنی معادلات قدرت پنجم و بالاتر در رادیکال ها را ارائه کرد. او برای اثبات این موضوع از مفاهیمی از نظریه گروه استفاده کرد، اگرچه آنها را به نام های مختلف نامید. روفینی همچنین نامه‌ای را که اباتی به او نوشته بود منتشر کرد که اصل آن نظریه گروه بود.

گالوا کشف کرد که اگر یک معادله جبری چندین ریشه داشته باشد، همیشه گروهی از جایگشت‌های این ریشه‌ها وجود دارد، به طوری که 1) هر تابعی که تحت جایگشت‌های گروه ثابت است، منطقی است و برعکس، 2) هر تابع عقلی ریشه‌ها. تحت جایگشت های گروه ثابت است. او اولین آثار خود را در مورد نظریه گروه در سال 1829، در سن 18 سالگی منتشر کرد، اما تا زمانی که آثار جمع آوری شده او در سال 1846 منتشر شد، تقریباً مورد توجه قرار نگرفت.

آرتور کیلی و آگوستین لوئی کوشی از اولین ریاضیدانانی بودند که به اهمیت نظریه گروه پی بردند. این دانشمندان همچنین برخی از قضایای مهم این نظریه را ثابت کردند موضوعی که مورد مطالعه قرار دادند توسط سرت، که بخشی از کتاب خود را در مورد جبر به این نظریه اختصاص داد، توسط جردن، که Traité des Substitutions به یک نظریه کلاسیک تبدیل شد، و توسط یوجین نتتو (1882) رواج یافت. ) که کارش توسط کول در سال 1892 به انگلیسی ترجمه شد. بسیاری دیگر از ریاضیدانان قرن نوزدهم نیز سهم بزرگی در توسعه نظریه گروه داشتند: برتراند، هرمیت، فروبنیوس، کرونکر و ماتیو.

تعریف مدرن از مفهوم "گروه" تنها در سال 1882 توسط والتر فون دوک ارائه شد.

در سال 1884، سوفوس لای مطالعه هر دو گروه دگرگونی آنچه را که اکنون گروه‌های دروغ می‌نامیم و زیرگروه‌های مجزای آن‌ها را آغاز کرد. آثار او توسط Killing، Studi، Schur، Maurer و Elie Cartan دنبال شد. نظریه گروه های گسسته توسط کلاین، لی، پوانکاره و پیکارد در ارتباط با مطالعه فرم های مدولار و سایر اشیاء توسعه داده شد.

در اواسط قرن بیستم (عمدتاً بین سال‌های 1955 و 1983)، کار زیادی روی طبقه‌بندی همه گروه‌های ساده محدود، از جمله ده‌ها هزار صفحه مقاله، انجام شد.

بسیاری از ریاضیدانان دیگر مانند آرتین، امی نوتر، لودویگ سیلو و دیگران نیز سهم قابل توجهی در نظریه گروه داشتند.

شرح مختصری از نظریه

مفهوم گروه در نتیجه توصیف رسمی از تقارن و هم ارزی اجسام هندسی به وجود آمد. در برنامه ارلانگن فلیکس کلاین، مطالعه هندسه با مطالعه گروه های مربوط به تبدیل ها همراه بود. به عنوان مثال، اگر ارقام روی یک هواپیما داده شوند، گروهی از حرکات برابری آنها را تعیین می کند.

تعریف . گروه مجموعه ای از عناصر (متناهی یا نامتناهی) است که بر روی آنها عملیات ضرب مشخص شده است که چهار اصل زیر را برآورده می کند:

بسته بودن یک گروه تحت عمل ضرب . برای هر دو عنصر از یک گروه، عنصر سومی وجود دارد که آنهاستنمودار گروهی رایگان به ترتیب 2توسط کار:

انجمنیعملیات ضرب. ترتیبی که ضرب انجام می شود بی اهمیت است:

وجود یک عنصر واحد. عنصر E در گروه وجود دارد که حاصل ضرب آن با هر عنصر A از گروه همان عنصر A را به دست می‌دهد:

نظریه گروه

وجود عنصر معکوس. برای هر عنصر A از گروه یک عنصر A-1 وجود دارد به طوری که محصول آنها عنصر هویت E را می دهد:

بدیهیات گروه به هیچ وجه وابستگی عملیات ضرب به ترتیب عوامل را تنظیم نمی کند. بنابراین، به طور کلی، تغییر ترتیب عوامل بر محصول تأثیر می گذارد. گروه هایی که محصول آن ها به ترتیب عوامل بستگی ندارد، گروه های جابجایی یا آبلی نامیده می شوند. برای یک گروه آبلی

گروه های آبلی در کاربردهای فیزیکی بسیار نادر هستند. اغلب، گروه هایی که معنای فیزیکی دارند، غیر آبلی هستند:

توصیف گروه های محدود از اندازه کوچک با استفاده از به اصطلاح راحت است. "جدول ضرب". در این جدول هر سطر و هر ستون مربوط به یک عنصر از گروه است و نتیجه عملیات ضرب برای عناصر مربوطه در خانه محل تقاطع سطر و ستون قرار می گیرد.

در زیر نمونه ای از جدول ضرب (جدول کیلی) برای گروهی متشکل از چهار عنصر آورده شده است: (1, −1, i, −i) که در آن عملیات ضرب حسابی معمولی است:

عنصر هویت در اینجا 1 است، معکوس های 1 و −1 خودشان هستند و عناصر i و −i معکوس یکدیگر هستند.

اگر گروهی دارای تعداد نامتناهی عنصر باشد، به آن گروه نامتناهی می گویند.

هنگامی که عناصر یک گروه به طور مداوم به برخی از پارامترها وابسته باشند، گروه را پیوسته یا گروه دروغ می نامند. گروه Lie نیز به گروهی گفته می شود که مجموعه عناصر آن یک منیفولد صاف را تشکیل می دهد. با استفاده از گروه های دروغ به عنوان گروه های تقارن، راه حل های معادلات دیفرانسیل پیدا می شود.

گروه ها به طور همه جا در ریاضیات و علوم استفاده می شوند، اغلب برای کشف تقارن درونی اشیاء (گروه های اتومورفیسم). تقارن درونی معمولاً با ویژگی های ثابت همراه است. مجموعه دگرگونی هایی که این خاصیت را حفظ می کنند، همراه با عملیات ترکیب، گروهی به نام گروه تقارن را تشکیل می دهند.

که در نظریه گالوا، که مفهوم گروه را به وجود آورد، از گروه‌هایی برای توصیف تقارن معادلاتی استفاده می‌شود که ریشه‌های آن‌ها ریشه برخی هستند.معادله چند جمله ای به دلیل نقش مهمی که در این نظریه بازی می کنند، گروه های قابل حل نام خود را می گیرند.

که در توپولوژی جبریگروه ها برای توصیف متغیرهای فضاهای توپولوژیکی استفاده می شوند. منظور ما از ثابت‌ها ویژگی‌هایی از فضا است که وقتی به نوعی تغییر شکل می‌دهند، تغییر نمی‌کنند. نمونه هایی از این گونه استفاده از گروه ها، گروه های بنیادی، همسانی و گروه های همشناسی هستند.

گروه های دروغ در مطالعه معادلات دیفرانسیل و منیفولدها استفاده می شوند. آنها تئوری گروه و تحلیل ریاضی را ترکیب می کنند. حوزه تحلیل مرتبط با این گروه ها را تحلیل هارمونیک می نامند.

نظریه گروه

در ترکیبات، مفاهیم گروه های جایگشت و اقدامات گروهی برای ساده کردن محاسبه تعداد عناصر در یک مجموعه استفاده می شود. به طور خاص، لم Burnside اغلب استفاده می شود.

درک نظریه گروه برای فیزیک و سایر علوم طبیعی نیز بسیار مهم است. در شیمی از گروه ها برای طبقه بندی شبکه های کریستالی و تقارن های مولکولی استفاده می شود. در فیزیک، از گروه ها برای توصیف تقارن هایی استفاده می شود که از قوانین فیزیکی پیروی می کنند. به ویژه در فیزیک، بازنمایی گروه‌ها، به‌ویژه گروه‌های دروغ، اهمیت ویژه‌ای دارند، زیرا آنها اغلب راه را به نظریه‌های فیزیکی «ممکن» نشان می‌دهند.

یک گروه اگر توسط یک عنصر a ایجاد شود، چرخه نامیده می شود، یعنی تمام عناصر آن قدرت های a هستند (یا اگر از اصطلاحات افزودنی استفاده کنیم، قابل نمایش به شکل na، جایی که n یک عدد صحیح است). نماد ریاضی: .

می گویند که گروه روی یک مجموعه عمل می کند، اگر هممورفیسم داده شود از گروه

به گروه همه جایگشت های مجموعه . برای اختصار، اغلب به صورت یا نوشته می شود.

نمونه هایی از گروه ها

ساده ترین گروه، گروهی است که عملیات محاسباتی معمول ضرب را دارد که از عنصر 1 تشکیل شده است. عنصر 1 عنصر هویت گروه و معکوس آن است:

مثال ساده بعدی گروهی با عملیات محاسباتی معمول ضرب است که از عناصر (1، -1) تشکیل شده است. عنصر 1 عنصر هویت گروه است، هر دو عنصر گروه نسبت به خود معکوس هستند:

گروه عملیات حسابی نسبتا معمولی ضرب مجموعه ای متشکل از چهار عنصر (1، -1، i، -i) است. عنصر هویت در اینجا 1 است، معکوس های 1 و -1 خودشان هستند و عناصر i و -i معکوس یکدیگر هستند.

گروه عبارت است از دو چرخش فضا به میزان 0 و 180 درجه حول یک محور، اگر حاصل ضرب دو

نوبت به عنوان اجرای متوالی آنها به حساب می آید. این گروه معمولاً C 2 نامیده می شود. ایزومورفیک (یعنی یکسان) با گروه فوق با عناصر 1 و -1 است. چرخش به 0 درجه به دلیل آن است

یکسان است که در جدول با حرف E مشخص شده است.

نظریه گروه
			R 180
			R 180
	R 180	R 180

گروه، همراه با تبدیل یکسان E، با عملیات وارونگی I تشکیل می شود که جهت هر بردار را معکوس می کند. یک عملیات گروهی اجرای متوالی دو وارونگی است. این گروه معمولاً S 2 نامیده می شود. نسبت به گروه فوق C2 هم شکل است.

بر اساس قیاس با گروه C2، می توان گروه C3 را ساخت که شامل چرخش های صفحه در زوایای 0 درجه، 120 درجه و 240 درجه است. می توان گفت که گروه C 3 مجموعه ای از چرخش هایی است که یک مثلث متساوی الاضلاع را به خود تبدیل می کند.

عناصر گروه C3

		R 120	R 240
		R 120	R 240
R 120	R 120	R 240
R 240	R 240		R 120

اگر انعکاس‌های مثلث را نسبت به سه محور تقارن آن (R1، R2، R3) به گروه C 3 اضافه کنیم، گروه کاملی از عملیات به دست می‌آید که مثلث را به خود تبدیل می‌کند. این گروه نامیده می شود

D3.

عناصر گروه D3