نمونه هایی از استفاده از دیفرانسیل در محاسبات تقریبی. محاسبات تقریبی با استفاده از دیفرانسیل. مقدار تقریبی افزایش تابع

برنج. 4.2. برنامه

برنج. 4.3. برنامه

مجانب عمودی یک تابع را باید یا در نقاط ناپیوستگی نوع دوم جستجو کرد (حداقل یکی از حدود یک طرفه تابع در یک نقطه نامحدود است یا وجود ندارد)، یا در انتهای دامنه تعریف آن.
، اگر
- اعداد متناهی

اگر تابع
روی کل خط اعداد تعریف شده است و حد محدودی وجود دارد
، یا
، سپس خط مستقیم که توسط معادله داده می شود
، یک مجانب افقی سمت راست و خط مستقیم است
- مجانب افقی سمت چپ.

اگر محدودیت های محدودی وجود داشته باشد

و
,

سپس آن را مستقیم
مجانب مایل نمودار تابع است. مجانب مایل نیز می تواند سمت راست باشد (
) یا چپ دست (
).

تابع
افزایش در مجموعه نامیده می شود
، در صورت وجود
، به طوری که >، نابرابری برقرار است:
>
(کاهش اگر:
<
). یک دسته از
در این حالت فاصله یکنواختی تابع نامیده می شود.

شرط کافی زیر برای یکنواختی یک تابع معتبر است: اگر مشتق یک تابع متمایز در داخل مجموعه باشد.
مثبت (منفی) است، سپس تابع در این مجموعه افزایش (کاهش) می یابد.

مثال 4.5.یک تابع داده شده است
. فواصل افزایش و کاهش آن را بیابید.

راه حل.بیایید مشتق آن را پیدا کنیم
. بدیهی است که > 0 در > 3 و <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) و افزایش می یابد (3;
).

نقطه یک نقطه نامیده می شود حداکثر محلی (حداقل)کارکرد
، اگر در محله ای از نقطه نابرابری برقرار است
(
) . مقدار تابع در یک نقطه تماس گرفت حداکثر (حداقل).حداکثر و حداقل توابع با یک نام مشترک متحد می شوند نقاط بحرانیکارکرد.

به منظور عملکرد
در آن نقطه افراطی داشت لازم است که مشتق آن در این نقطه برابر با صفر باشد (
) یا وجود نداشت.

نقاطی که مشتق تابع برابر با صفر است نامیده می شوند ثابتنقاط عملکرد لزومی ندارد که یک اکسترومی از تابع در یک نقطه ثابت وجود داشته باشد. برای یافتن اکسترم، لازم است نقاط ثابت تابع را نیز به عنوان مثال با استفاده از شرایط کافی برای اکسترموم بررسی کنیم.

اولین آنها این است که اگر هنگام عبور از یک نقطه ثابت از چپ به راست، مشتق تابع قابل تمایز علامت مثبت به منفی را تغییر می‌دهد، سپس یک حداکثر محلی در نقطه به دست می‌آید. اگر علامت از منفی به مثبت تغییر کند، این حداقل نقطه تابع است.

اگر علامت مشتق هنگام عبور از نقطه مورد مطالعه تغییر نکند، در این نقطه افراطی وجود ندارد.

دومین شرط کافی برای حداکثر یک تابع در یک نقطه ثابت از مشتق دوم تابع استفاده می کند: اگر
<0, тоحداکثر امتیاز است، و اگر
> 0، سپس - حداقل امتیاز در
=0 سوال در مورد نوع اکستروم باز می ماند.

تابع
تماس گرفت محدب (مقعر) در مجموعه
، اگر برای هر دو مقدار باشد
نابرابری برقرار است:

.

شکل 4.4. نمودار یک تابع محدب

اگر مشتق دوم یک تابع دوبار متمایز باشد
مثبت (منفی) در مجموعه
، سپس تابع در مجموعه مقعر (محدب) است
.

نقطه عطف نمودار یک تابع پیوسته
نقطه جداکننده فواصلی که تابع در آنها محدب و مقعر است نامیده می شود.

مشتق دوم
تابع دو برابر قابل تمایز در یک نقطه عطف برابر با صفر است، یعنی
= 0.

اگر مشتق دوم هنگام عبور از نقطه معین بعد علامتش عوض میشه نقطه عطف نمودار آن است.

هنگام مطالعه یک تابع و رسم نمودار آن، توصیه می شود از طرح زیر استفاده کنید:

مشکل گسترده را در نظر بگیرید در محاسبه تقریبی مقدار یک تابع با استفاده از دیفرانسیل.

در اینجا و بیشتر در مورد دیفرانسیل های مرتبه اول صحبت خواهیم کرد؛ برای اختصار، اغلب به سادگی می گوییم "دیفرانسیل". مشکل محاسبات تقریبی با استفاده از دیفرانسیل دارای یک الگوریتم راه حل دقیق است و بنابراین، هیچ مشکل خاصی نباید ایجاد شود. تنها چیزی که وجود دارد این است که دام های کوچکی وجود دارد که آنها نیز پاک می شوند. پس با خیال راحت به سر شیرجه بزنید.

علاوه بر این، بخش شامل فرمول هایی برای یافتن خطاهای مطلق و نسبی محاسبات است. مواد بسیار مفید است، زیرا خطاها باید در مسائل دیگر محاسبه شوند.

برای تسلط موفقیت آمیز به مثال ها، باید بتوانید مشتقات توابع را حداقل در سطح متوسط ​​پیدا کنید، بنابراین اگر در تمایز کاملاً ضرر دارید، لطفاً با یافتن مشتق در یک نقطهو با پیدا کردن دیفرانسیل در نقطه. از ابزارهای فنی، به یک ریز حساب با توابع مختلف ریاضی نیاز خواهید داشت. شما می توانید از قابلیت های MS Excel استفاده کنید، اما در این مورد راحت تر است.

درس شامل دو بخش است:

- محاسبات تقریبی با استفاده از مقدار دیفرانسیل یک تابع از یک متغیر در یک نقطه.

- محاسبات تقریبی با استفاده از دیفرانسیل کل مقدار یک تابع از دو متغیر در یک نقطه.

کار مورد بررسی ارتباط نزدیکی با مفهوم دیفرانسیل دارد، اما از آنجایی که ما هنوز درسی در مورد معنای مشتقات و دیفرانسیل ها نداریم، خود را به بررسی رسمی مثال ها محدود می کنیم، که برای یادگیری نحوه حل کردن کاملاً کافی است. آنها

محاسبات تقریبی با استفاده از دیفرانسیل یک تابع از یک متغیر

در پاراگراف اول، تابع یک متغیر قوانین. همانطور که همه می دانند، با نشان داده می شود yیا از طریق f(ایکس). برای این کار استفاده از نماد دوم بسیار راحت تر است. بیایید مستقیماً به یک مثال رایج که اغلب در عمل با آن مواجه می‌شویم برویم:

مثال 1

راه حل:لطفاً فرمول کار را برای محاسبه تقریبی با استفاده از دیفرانسیل در دفترچه یادداشت خود کپی کنید:

بیایید شروع کنیم به کشف آن، همه چیز در اینجا ساده است!

اولین قدم ایجاد یک تابع است. با توجه به شرط، پیشنهاد می شود ریشه مکعب عدد: را محاسبه کنیم، بنابراین تابع مربوطه به شکل: .

برای یافتن مقدار تقریبی باید از فرمول استفاده کنیم.

بیایید نگاهی بیندازیم به سمت چپفرمول ها، و این فکر به ذهن خطور می کند که عدد 67 باید در فرم نمایش داده شود. ساده ترین راه برای انجام این کار چیست؟ من الگوریتم زیر را توصیه می کنم: این مقدار را در یک ماشین حساب محاسبه کنید:

- معلوم شد 4 با دم است، این یک دستورالعمل مهم برای راه حل است.

مانند ایکس 0 یک مقدار "خوب" را انتخاب کنید، به طوری که ریشه به طور کامل حذف شود. طبیعتاً این معناست ایکس 0 باید باشد تا حد ممکن نزدیکتا 67

در این مورد ایکس 0 = 64. در واقع، .

توجه: هنگام انتخابایکس 0 هنوز یک مشکل وجود دارد، فقط به مقدار محاسبه شده نگاه کنید (در این مورد ، نزدیکترین قسمت صحیح (در این مورد 4) را بگیرید و آن را به توان مورد نیاز ببرید (در این مورد) ). در نتیجه انتخاب مورد نظر انجام خواهد شدایکس 0 = 64.

اگر ایکس 0 = 64، سپس افزایش آرگومان: .

بنابراین، عدد 67 به صورت مجموع نشان داده می شود

ابتدا مقدار تابع را در نقطه محاسبه می کنیم ایکس 0 = 64. در واقع، این قبلا قبلاً انجام شده است:

دیفرانسیل در یک نقطه با فرمول بدست می آید:

- همچنین می توانید این فرمول را در دفترچه یادداشت خود کپی کنید.

از فرمول چنین می شود که شما باید اولین مشتق را بگیرید:

و ارزش آن را در نقطه پیدا کنید ایکس 0:

.

بدین ترتیب:

همه چیز آماده است! طبق فرمول:

مقدار تقریبی یافت شده کاملاً نزدیک به مقدار 4.06154810045 است که با استفاده از یک ریز حساب محاسبه شده است.

پاسخ:

مثال 2

تقریباً با جایگزین کردن افزایش های تابع با دیفرانسیل آن محاسبه کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. نمونه تقریبی طرح نهایی و پاسخ آخر درس. برای مبتدیان، توصیه می‌کنم ابتدا مقدار دقیق را روی یک ریزماشین حساب محاسبه کنید تا بفهمید چه عددی را باید در نظر بگیرید. ایکس 0، و کدام یک - برای Δ ایکس. لازم به ذکر است که Δ ایکسدر این مثال منفی خواهد بود.

شاید برخی از خود پرسیده باشند که اگر همه چیز را می توان با آرامش و با دقت بیشتری در ماشین حساب محاسبه کرد، چرا این کار لازم است؟ موافقم، کار احمقانه و ساده لوحانه است. اما سعی می کنم کمی آن را توجیه کنم. در مرحله اول، کار معنای تابع دیفرانسیل را نشان می دهد. ثانیاً، در دوران باستان، ماشین حساب چیزی شبیه هلیکوپتر شخصی در دوران مدرن بود. من خودم دیدم که چطور یک کامپیوتر به اندازه یک اتاق در سال 85-86 از یکی از مؤسسات بیرون انداخته شد (آماتورهای رادیویی از سراسر شهر با پیچ گوشتی می دویدند و بعد از چند ساعت فقط پرونده از واحد باقی مانده بود. ). ما همچنین عتیقه جات در بخش فیزیک خود داشتیم، اگرچه اندازه آنها کوچکتر بود - تقریباً به اندازه یک میز. این گونه است که اجداد ما با روش های محاسبات تقریبی مبارزه می کردند. کالسکه اسبی نیز حمل و نقل است.

به هر حال، مشکل در درس استاندارد ریاضیات عالی باقی می ماند و باید حل شود. این پاسخ اصلی به سوال شما است =).

مثال 3

تقریباً مقدار یک تابع را با استفاده از دیفرانسیل محاسبه کنید در نقطه ایکس= 1.97. مقدار تابع دقیق تری را در یک نقطه محاسبه کنید ایکس 97/1 = با استفاده از ریز حساب، خطای مطلق و نسبی محاسبات را برآورد کنید.

در واقع، این کار را می توان به راحتی به صورت زیر فرموله کرد: «مقدار تقریبی را محاسبه کنید با استفاده از دیفرانسیل"

راه حل:ما از فرمول آشنا استفاده می کنیم:

در این مورد، یک تابع آماده از قبل داده شده است: . یک بار دیگر، من می خواهم توجه شما را به این واقعیت جلب کنم که برای نشان دادن یک تابع، به جای "بازی" استفاده از آن راحت تر است. f(ایکس).

معنی ایکس= 1.97 باید در فرم نشان داده شود ایکس 0 = Δ ایکس. خوب، اینجا راحت تر است، می بینیم که عدد 1.97 بسیار نزدیک به "دو" است، بنابراین خود را نشان می دهد ایکس 0 = 2. و بنابراین: .

بیایید مقدار تابع را در نقطه محاسبه کنیم ایکس 0 = 2:

با استفاده از فرمول ، دیفرانسیل را در همان نقطه محاسبه می کنیم.

اولین مشتق را پیدا می کنیم:

و معنی آن در نقطه ایکس 0 = 2:

بنابراین، دیفرانسیل در نقطه:

در نتیجه، طبق فرمول:

بخش دوم کار، یافتن خطای مطلق و نسبی محاسبات است.

مقدار تقریبی افزایش تابع

برای مقادیر به اندازه کافی کوچک، افزایش تابع تقریباً برابر است با دیفرانسیل آن، یعنی. Dy » dy و بنابراین

مثال 2.وقتی آرگومان x از مقدار x 0 =3 به x 1 =3.01 تغییر می کند، مقدار تقریبی افزایش تابع y= را پیدا کنید.

راه حل. بیایید از فرمول (2.3) استفاده کنیم. برای انجام این کار، بیایید محاسبه کنیم

X 1 - x 0 = 3.01 - 3 = 0.01، سپس

دو" .

مقدار تقریبی یک تابع در یک نقطه

مطابق با تعریف افزایش تابع y = f(x) در نقطه x 0، هنگامی که آرگومان Dx (Dx®0) افزایش می یابد، Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) و فرمول (3.3) را می توان نوشت

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

موارد خاص از فرمول (3.4) عبارتند از:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3.4v)

tgDx » Dx (3.4 گرم)

در اینجا، مانند قبل، فرض می شود که Dx®0.

مثال 3.مقدار تقریبی تابع f(x) = (3x -5) 5 را در نقطه x 1 =2.02 بیابید.

راه حل. برای محاسبات از فرمول (3.4) استفاده می کنیم. بیایید x 1 را به صورت x 1 = x 0 + Dx نشان دهیم. سپس x 0 = 2، Dx = 0.02.

f(2.02)=f(2 + 0.02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2.02) = (3 × 2.02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0.02 = 1.3

مثال 4.محاسبه (1.01) 5 , , ln(1.02), ln .

راه حل

1. از فرمول (3.4a) استفاده می کنیم. برای انجام این کار، بیایید (1.01) 5 را به شکل (1+0.01) 5 تصور کنیم.

سپس، با فرض Dx = 0.01، n = 5، دریافت می کنیم

(1.01) 5 = (1 + 0.01) 5 » 1 + 5 × 0.01 = 1.05.

2. با ارائه 1/6 به صورت (1 - 0.006)، مطابق (3.4a)، به دست می آوریم.

(1 - 0.006) 1/6 » 1 + .

3. با در نظر گرفتن ln(1.02) = ln(1 + 0.02) و با فرض Dx=0.02، با استفاده از فرمول (3.4b) به دست می آوریم.

ln(1.02) = ln(1 + 0.02) » 0.02.

4. به همین ترتیب

ln = ln (1 - 0.05) 1/5 = .

مقادیر تقریبی افزایش تابع را بیابید

155. y = 2x 3 + 5 وقتی آرگومان x از x 0 = 2 به x 1 = 2.001 تغییر می کند

156. y = 3x 2 + 5x + 1 با x 0 = 3 و Dx = 0.001

157. y = x 3 + x - 1 با x 0 = 2 و Dx = 0.01

158. y = ln x در x 0 = 10 و Dx = 0.01

159. y = x 2 - 2x در x 0 = 3 و Dx = 0.01

مقادیر تقریبی توابع را بیابید

160. y = 2x 2 - x + 1 در نقطه x 1 = 2.01

161. y = x 2 + 3x + 1 در x 1 = 3.02

162.y= در نقطه x 1 = 1.1

163. y= در نقطه x 1 = 3.032

164. y = در نقطه x 1 = 3.97

165. y = گناه 2x در نقطه x 1 = 0.015

تقریبا محاسبه کنید

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178.ln(1.003×e) 179.ln(1.05) 5 180.ln

181.ln0.98 182.ln 183.ln(e 2 × 0.97)

تحقیق توابع و نمودار

نشانه های یکنواختی یک تابع

قضیه 1 (شرط لازم برای افزایش (کاهش) یک تابع) . اگر تابع متمایز y = f(x)، xО(a; b) در بازه (a; b) افزایش می یابد (کاهش می یابد)، سپس برای هر x 0 О(a; b).

قضیه 2 (شرط کافی برای افزایش (کاهش) یک تابع) . اگر تابع y = f(x)، xO(a; b) در هر نقطه از بازه (a; b) مشتق مثبت (منفی) داشته باشد، این تابع در این بازه افزایش (کاهش) می یابد.

افراطی عملکرد

تعریف 1.نقطه x 0 حداکثر (حداقل) نقطه تابع y = f(x) نامیده می شود اگر برای تمام x از برخی d-همسایگی نقطه x 0 نابرابری f(x) ارضا شود.< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) برای x ¹ x 0.

قضیه 3 (فرمات) (شرط لازم برای وجود افراط) . اگر نقطه x 0 نقطه انتهایی تابع y = f(x) باشد و در این نقطه یک مشتق وجود داشته باشد،

قضیه 4 (اولین شرط کافی برای وجود افراط) . اجازه دهید تابع y = f(x) در برخی از همسایگی های d نقطه x 0 قابل تفکیک باشد. سپس:

1) اگر مشتق هنگام عبور از نقطه x 0 علامت (+) را به (-) تغییر دهد، آنگاه x 0 حداکثر نقطه است.

2) اگر مشتق هنگام عبور از نقطه x 0 علامت (-) را به (+) تغییر دهد، آنگاه x 0 حداقل نقطه است.

3) اگر مشتق هنگام عبور از نقطه x 0 علامت تغییر ندهد، در نقطه x 0 تابع اکستروموم ندارد.

تعریف 2.نقاطی که مشتق یک تابع در آنها ناپدید می شود یا وجود ندارد نامیده می شوند نقاط بحرانی از نوع اول

با استفاده از مشتق اول

1. دامنه تعریف D(f) تابع y = f(x) را بیابید.

2. مشتق اول را محاسبه کنید

3. نقاط بحرانی از نوع اول را بیابید.

4. نقاط بحرانی را در دامنه تعریف D(f) تابع y = f(x) قرار دهید و علامت مشتق را در فواصل زمانی که نقاط بحرانی دامنه تعریف تابع را به آنها تقسیم می کنند، تعیین کنید.

5. حداکثر و حداقل نقاط تابع را انتخاب کرده و مقادیر تابع را در این نقاط محاسبه کنید.

مثال 1.تابع y = x 3 - 3x 2 را برای یک امتداد بررسی کنید.

راه حل. مطابق با الگوریتم برای یافتن حداکثر یک تابع با استفاده از مشتق اول، داریم:

1. D(f): xО(-¥؛ ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 Þ x = 0، x = 2 - نقاط بحرانی از نوع اول.

مشتق هنگام عبور از نقطه x = 0

علامت از (+) به (-) تغییر می کند، بنابراین یک نقطه است

بیشترین. هنگام عبور از نقطه x = 2، علامت از (-) به (+) تغییر می کند، بنابراین این حداقل نقطه است.

5. y max = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

حداکثر مختصات (0; 0).

y min = f(2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4.

حداقل مختصات (2; -4).

قضیه 5 (دومین شرط کافی برای وجود افراط) . اگر تابع y = f(x) تعریف شده باشد و دو بار در محله ای از نقطه x 0 قابل تفکیک باشد، و در نقطه x 0 تابع f(x) دارای حداکثر اگر و حداقل اگر است.

الگوریتمی برای یافتن منتهی الیه یک تابع

با استفاده از مشتق دوم

1. دامنه تعریف D(f) تابع y = f(x) را بیابید.

2. مشتق اول را محاسبه کنید

208. f(x) = 209. f(x) =

210. f(x) = x (ln x - 2) 211. f(x) = x ln 2 x + x + 4